20xx春北师大版数学九下第三章圆word单元导学案

20xx春北师大版数学九下第三章圆word单元导学案内容摘要：

P，所以 Rt△ OPE≌ Rt△ OPF， 所以 PE＝ PF，所以 PE＋ EA＝ PF＋ BF，所以 PA＝ PB． 【解题策略】 (1)圆心到弦的距离叫做弦心距； (2)在同圆或等圆中，若两条弧、两个圆心角、两条弦、两条弦的弦心距有一组量相等，则其余各组量都相等． 体验 中考 分析 在⊙ O 中， AB 为直径， AB⊥ CD 于 E，所以∠ DEB＝ 90176。 ，所以 CE＝ DE＝12CD＝ 2，所以 BE＝22( 3) ( 2)＝ 1．连接 OD，则 OE＝ OD－ BE＝ OD－ 1，所以在 Rt△ OED中， OD2＝ (OD－ 1)2＋2( 2)，解得 OD＝ 1． 5．所以 AB＝ 2OD＝ 3．故选 B． 分析 在⊙ O中， CD 为直径，弦 AB＝ 8． AB⊥ CD，所以 AM＝ BM＝ 4，连接OB，则 OB＝ 5，在 Rt△ OBM 中， OM＝2254＝ 3，所以 DM＝ 5＋ 3＝ 8．故填 8． 分析 在⊙ O中，直径 AB 垂直弦 CD于 P， CD＝ 6 cm，所以 CP＝ DP＝ 3 cm，连接 OD，因为 P为 OB 的中点，所以 OP＝12OD，所以在 Rt△ ODP中， (2OP)2＝ OP2＋ 32，解得 OP＝3，因为 OP＞ 0，所以 OP＝3cm，故 AB＝43cm．故选 D． 圆周角和圆心角的关系 学习目标、重点、难点 【学习目标】 ． ． 【重点难点】 ． ． 知识概览图 新课导引 【问题链接】 如下图所示，通过观察发现，每一个图形都是由∠ BAC 和⊙ O组成的． 【问题探究】 通过观察可知第三个图中的 ∠ BAC 是⊙ O 的圆周角．那么什么叫做圆周角呢 ? 【点拨】 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 教材精华 知识点 1 圆周角的概念 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 拓展 圆周角有两个特征： (1)角的顶点在圆上； (2)两边在圆内的部分是圆的两条弦．二者缺一不可． 知识点 2 圆周角定理 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 圆周角和圆心角的关系 圆周角的概 念 圆周角定理 圆周角定理的推论 拓展 (1)定理的要求是同一条弧所对的圆周角和圆心角，从数值上来看，圆周角是圆心角的一半． (2)不能忽略“同一条弧”这个前提条件，不能简单表述成“圆周角等于圆心角的一半”． 关于这个定理的证明，教材上采用的是分类讨论的证明方法，这种方法应认真理解．其证明要点是： (1)将已知图形之间的各种可能位置关系进行分类； (2)先证明特殊位置的情形； (3)利用特殊情形的结论证明其他情形，即把其他情形转化为已证的特殊情形进行证明； (4)归纳、总结出一般性结论．这种方法可应用于解题之中． 本定理的证明可以通过画图观察，如图 3－ 44所示，以圆上任意一点为顶点的圆周角，虽然有无数多个，但它们与圆心的位置关系归纳起 来却只有三种情况：(1)圆心在角的一边上 (如图 3－ 44(1)所示 )； (2)圆心在角的内部 (如图 3－ 44(2)所示 )； (3)圆心在角的外部 (如图 3－ 44(3)所示 )．在这三种情况下证明定理成立，进而证明在一般情况下也成立． 知识点 3 圆周角定理的推论 推论 1： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 如图 3－ 45 所示， AB所对的圆周角有∠ ACB，∠ ADB，∠AEB，因此∠ ACB＝∠ ADB＝∠ AEB． 拓展 (1)若将“同弧或等 弧”改为“同弦或等弦”，结论不成立．如图 3－ 46 所示，∠ ACB，∠ ADB，∠ AEB 所时的弦是同一条弦 AB，∠ ADB＝∠ AEB，但∠ ADB 与∠ ACB，∠ AEB 与∠ ACB却不相等． (2)此推论的逆命题是一个真命题，可以作为圆周角定理的一个推论，其表述为：在同圆或等圆中．相等的圆周角所对的弧也相等．如图 3－ 47 所示．如果∠ ACB＝∠ DFE，那么 AB DE． 推论 2： 直径所对的圆周角是直角； 90176。 的圆周角所对的弦是直径． 如图 3－ 48 所示，若 AB 为直径 ，则∠ ACB＝ 90176。 ；若∠ ACB＝ 90176。 ，则 AB为直径． 由此得到：如果三角形的一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角 形是直角三角形． 规律方法小结 1． (1)分类讨论思想：如本节中的圆周角定理，是分三种情况进行证明的，但对于各类所要证明的命题，应不应该分情况讨论，主要是看各种情况的证明方法是否相同．如果相同，那么不需要分情况证明；如果不同，那么必须分情况证明，而且情况要分得正确，不能重复或遗漏． (2)转化思想：在圆周角定理的证明过程所分的三种情况中，后两种情况是通过转化为第 一种情况来证明的． 2．圆心角与圆周角的比较． 定义 图形 圆心角与圆周角的关系 圆 心 角 顶点在圆心的角 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．如下图所示，∠ ACB＝12∠ AOB 圆 周 角 (1) 顶点在圆上 (2) 角的两边都与圆相交 课堂检测 基本概念题 如图 3－ 49 所示，判断哪些角是圆周角． 基础知识应用题 如图 3－ 50 所示，在⊙ O 中，∠ AOC＝ 150176。 ，求∠ABC，∠ ADC， ∠ EBC 的度数，并判断∠ ABC 和∠ ADC，∠ EBC 和∠ ADC 的度数关系． 如图 3－ 51 所示，已知 AB 为⊙ O的直径， C， D两点在⊙ O 上，且 AD＝ CD，∠ B＝ 50176。 ，求∠ BAD，∠ DCB，∠ ADC 的度数． 综合应用题 如图 3－ 52 所示， AB， CD 是半径为 5 的圆内互相垂直的两条直径， E为AO的中点，连接 CE 并延长，交⊙ O于另一点 F，求弦 CF 的长． 如图 3－ 53 所示，已知⊙ O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC 为 6 cm，∠ ACB的平分线交⊙ O于 D，求 BC， AD 和 BD 的长． 探索与创新题 在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门 MN 进攻，当甲带球冲到 A 点时，乙已跟随冲到 B 点 (如图 3－ 54 所示 )，此时甲是自己直接射门好还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢 ?(不考虑其他因素 ) 体验中考 如图 3－ 59 所示， AB 是⊙ O 的直径，点 C 在⊙ O 上，则∠ ACB 的度数为 ( ) A． 30176。 B． 45176。 C． 60176。 D． 90176。 如图 3－ 60 所示，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点 A 处安装了一台监视器，它的监控角度是 65176。 ，为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器 台． 如图 3－ 61 所示，在⊙ O 中，∠ ABC＝ 40176。 ，则∠ AOC＝ 度． 如图 3－ 62 所示， AB 为⊙ O的直径，弦 CD⊥ AB， E为 BC上一点，若∠ CEA＝ 28176。 ，则∠ ABD＝ 度． 学后反思 附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测 分析 只有 (2)具备圆周角的两个特征． (1)(3)的顶点不在圆上， (4)(5)虽然顶点在圆上．但角的两边不与圆相交，因此 (1)(3)(4)(5)都不是圆周角． 解 ： (2)中的角是圆周角． 【解题策略】 正确理解圆周角的概念． 分析 解题的关键是分清同弧所对的圆心角和圆周角，如 ADC所对的圆心角是∠ AOC，所对的圆周角是 ∠ ABC， ABC所对的圆心角是大于平角的∠ α ，所对的圆周角是∠ ADC． 解 ：∵∠ AOC＝ 150176。 ， ∴∠ ABC＝12∠ AOC＝ 75176。 (圆周角定理 )， ∵∠ α ＝ 360176。 －∠ AOC＝ 360176。 － 150176。 ＝ 210176。 ． ∴∠ ADC＝12∠ α ＝ 105176。 (圆周角定理 )． ∠ EBC＝ 180176。 －∠ ABC＝ 180176。 － 75176。 ＝ 105176。 ． ∵∠ ABC＋∠ ADC＝ 75176。 ＋ 105176。 ＝ 180176。 ，∠ EBC＝∠ ADC＝ 105176。 ， ∴∠ ABC 和∠ ADC互补，∠ EBC 和∠ ADC 相等． 【解题策略】 理解圆周角的概念，分清同弧所对的圆心角和圆周角是熟练运用圆周角定理解题的前提． 分析 由 AB 是直径，连接 AC，可得∠ ACB＝ 90176。 ．由 AD＝ CD．可得AD CD，连接 OD，可得 OD⊥ AC， OD∥ BC，∠ AOD＝∠ B＝ 50176。 ．由圆周角定理，可得∠ DCA＝12∠ DOA＝ 25176。 ．只要求出∠ DCA 的度数，其余的角可以很容易求得． 解 ：连接 AC， OD．∵ AB 是直径，∴∠ ACB＝ 90176。 ∵ AD＝ CD，∴ AD CD，∴ OD⊥ AC． ∵∠ ACB＝ 90176。 ，∴ BC⊥ AC，∴ OD∥ BC， ∴∠ AOD＝∠ B＝ 50176。 ，∴∠ DCA＝12∠ AOD＝ 25176。 ． ∵ AD CD，∴∠ DCA＝∠ DAC＝ 25176。 ． ∵∠ CAB＝ 90176。 －∠ B＝ 90176。 － 50176。 ＝ 40176。 ， ∴∠ DAB＝∠ DAC＋∠ CAB＝ 25176。 ＋ 40176。 ＝ 65176。 ， ∠ ADC＝ 180176。 －∠ DAC－∠ DCA＝ 180176。 － 25176。 － 25176。 ＝ 130176。 ， ∠ DCB＝∠ DCA＋∠ ACB＝ 25176。 ＋ 90176。 ＝ 115176。 ． 【解题策略】 运用圆周角定理及其推论解此题． 分析 连接 FD，由 CD 为直径，可得∠ CFD＝ 90176。 ，易知△ OCE 与△ FCD相似， CF 的长可由相似三角形的对应边成比例求得． 解 ：连接 FD．∵ CD 为直径，∴∠ CFD＝ 90176。 ． 又∵ CD⊥ AB，∴∠ COE＝∠ CFD＝ 90176。 ． ∵∠ ECO＝∠ DCF，∴△ COE∽△ CFD， ∴CD CECF CO，即CO CDCF CE． 又∵1 1 552 2 2O E AO   ， ∴在 Rt△ COE 中，22 2 2 5 5 5522C E C O O E     ， ∴5 10 45552CF ． 【解题策略】 这里构造直径所对的圆周角 (直角 )是解题的关键，它是一种 重要的添加辅助线的方法，应注意掌握． 分析 BC 可直接由勾股定理求出．求 AD， BD 的长，要先利用∠ ACB 被CD平分，得 AD BD，然后再利用勾股定理求解． 解 ：因为 AB为⊙ O 的直径，所以∠ ACB＝∠ ADB＝ 90176。 ． 在 Rt△ ACB 中， BC＝2 2 2 210 6AB AC  ＝ 8(cm)． 因为 CD平分∠ ACB，所以 AD BD，所以 AD＝ BD， 所以在 Rt△ ADB 中 ， AD＝ BD＝2 522 AB(cm)． 【解题策略】 已知条件中若有直径，则先利用圆周角定理的推论得到直角三角 形，然后利用直角三角形的性质求解． 分析 在真正的足球比赛中，情况会很复杂，这里仅用数学方法从两点的静止状态加以考虑．如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键看这两个点各自对球门 MN 的张角的大小．当张角较小时，则球容易被对方守门员拦截． 解 ：连接 BM， BN，过 M， N， B三点作圆，显然 A点。