126波的干涉3

126波的干涉3内容摘要：

质； 光疏介质 — 折射率 n 较小的介质。 可以证明： 当波从波 (光 )疏介质垂直入射到波 (光 )密介质而反射时，则反射波有  相位突变，相应有半波波程的损失。 这样在分界处出现波节，这种现象称为“ 半波损失 ”。 例 105 一平面波沿 x 轴正方向传播，传到波密介质分界面 M 在 B 点发生反射。 已知坐标原点 O 到介质分界面 M 的垂直距离 L = m，波长λ= m，原点 O处的振动方程为： yo = 5  103 cos ( 500t +  /4 ) m， 并设反射波不衰减，试求： (1)入射波和反射波的波动方程 ； (2)O和 B之间其余波节的位置 ； (3)离原点为 m 处质点的振幅。 L O B M u 解： (1)已知原点振动方程为： yo = 5  103 cos (500t +  /4) m y入 = 5103cos[2 (250t x /)+  /4] m 反射波：考虑 C点，反射波引起 C 点振动的相位落后于 O 点振动的相位为 2 (2L x) /λ+  ， y反 = 5103cos[500t+/4 2(2Lx)/λ+ ] = 5103cos[2(250t+x /)+ /4] m L O B M u C x (2) x 处反射波与入射波引起振动相位差：Δφ= ( 2x / +  /4 ) ( 2x / + /4) = 4x / 干涉减弱条件可得波节位置满足条件为： 4x / = ( 2k + 1 ) x = ( 2k + 1) m， ( k = 0， 1， 2…) =， ， m 所以 O 和 B 之间其余波节位置 ： x1 = m , x2 = m (3) 在 x = m 处，反射波和入射波间 Δφ= 4   = 5 / 2 合振幅 A = ( A入 2 + A反 2 + 2A入 A反 cosΔφ)1/2 = A入 =  5  103 =  103 m 简正模式 驻波的频率由系统的固有性质和边界条件决定。 例如：一根两端固定，长为 l 的紧张弦上的驻波，必须使两端成为波节，即弦长必须是半波长的整数倍： l = kλ/ 2  λk = 2 l / k ( k = 1， 2， 3… ) 对应的 驻波频率 ： ( u 为弦线中的波速 )  k = k u / 2 l ( k = 1， 2， 3… ) /2  3/2 k = 1 k = 2 k = 3 k = k u / 2 l ( k = 1， 2， 3… ) 简正模式 ：频率由上式决定的振动方式，称 为该系统的。 其中最低的频率 1 称为系统的 基频 ， 2，3 ， 4 … 称为 二次、三次，四次， … 谐频。 简正模式是驻波系统可能发生的振动方式。 共振 ：当外界驱动源频率等于 (或很接近 )系统的某一模式的频率时，系统就发生幅度很大的驻波。 通常把这种现象也叫做共振。 在弹簧和质点系统中只有一个共振频率， 而驻波系统可有许多共振频率。 一般情况下，任一振动可以表示为它的各种简正模式的迭加。 各个模式的强弱和相位则由系统的具体条件和激发方式决定。 弦乐器就是基于这一原理制作的。 当弦乐器因拉弦而激起振动时，就发出一定的声音来，它包含各种频率。 基音 ： 对应最低频率 1，决定声音的 音高 ；泛音 ：对应频率 k 称为第 k 泛音，泛音决 定各种乐器的 音色。 例如同奏一个“ C”音，提琴和胡琴就很不同，这就是因为它们所包含的泛音不同的缘故。 对于管、鼓、膜或空腔等驻波系统，也同样有简正模模式和共振现象。 可以证明： 对于矩形膜上简正模式  = u ( k12 / a2 + k22 / b2 )1/2 / 2 其中 a 和 b 分别为矩形的长与宽， k1 和 k2 对于矩形空腔内的简正模式  = u ( k12 / a2 + k22 / b2 + k32 / c2 )1/2 / 2 其中 a、 b 和 c 分别为矩形空膜的长、宽和高， k1 ， k2 和 k3 解：当绳索上激起强驻波时，可把 绳索看作两端固定的系统，可得： k = k ( T/η)1/2 / 2 l 式中 k 是所激起驻波包含的半波数。 例 106 设 A、 B 间绳索长 l = 1 米，绳索线密度 η= 5 克 /米，所持砝码为 1 千克。 为在绳索上激一个半波，二个半波和三个半波的强驻波，问发生器的频率 (即音叉的振动频率 )应分别为多少 ? l A B P m k = k ( T/η)1/2 / 2 l 已知： l = 1 m， T = 1 kg m/s2 = N， η= 5 g /m = 5 103 kg /m， k = 1， 2， 3 1 = 1  ( / 5  103 )1/2 / 2  1 = Hz 2 = 2  ( / 5  103 )1/2 / 2  1 = Hz 3 = 3  ( / 5  103 )1/2 / 2  1 = Hz 四、薄膜干涉 光程和光程差 前面讨论波的干涉条件时，仅限于相干波在同一介质内传播的情况。 下面将讨论相干光经过不同介质后产生的干涉现象光程： 光在折射率为 n 的介质中传播，通过几何路程为 x，则光的相位改变了： Δφ= 2x / ’ ( ’为介质中的波长 ) Δφ = 2 nx /  (  为真空中的波长 ) Δφ = 2 nx /  (  为真空中的波长 ) 定义： 光程 = n x，即折算到真空中的路程。 Δφ与光程差 δ之间的关系 ： Δφ=2δ/  同相位的相干光，明暗条纹的干涉条件： Δφ=2δ/ = 177。 2k （ 明条纹 ）。