高中数学人教a版选修2-3122组合教案

高中数学人教a版选修2-3122组合教案内容摘要：

1 2 3C  = 161700 （种） . (2）从 2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有 12C 种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有 298C 种，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有 122 98CC =9506(种 ). (3） 解法 1 从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有 1件次品和有 2 件次品两种情况．在第（ 2）小题中已求得其中 1件是次品的抽法有 122 98CC 种，因此根据分类加法计数原理，抽出的 3 件中至少有一件是 次品的抽法有 122 98CC + 212 98CC =9 604 （种） . 解法 2 抽出的 3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数，也就是从 100件中抽出 3 件的抽法种数减去 3 件中都是合格品的抽法的种数，即 33100 98CC =161 700152 096 = 9 604 （种） . 说明： “ 至少 ”“ 至多 ” 的问题，通常用分类法或间接法求解。 变式 ：按下列条件，从 12人中选出 5人，有多少种不 同选法。 （ 1）甲、乙、丙三人必须当选； （ 2）甲、乙、丙三人不能当选； （ 3）甲必须当选，乙、丙不能当选； （ 4）甲、乙、丙三人只有一人当选； （ 5）甲、乙、丙三人至多 2人当选； （ 6）甲、乙、丙三人至少 1人当选； 例 9．（ 1） 6本不同的书分给甲、乙、丙 3同学，每人各得 2本，有多少种不同的分法。 解： 90222426  CCC ． （ 2） 从 5 个男生和 4 个女生中选出 4 名学生参加一次会议，要求至少有 2 名男生和 1名女生参加，有多少种选法。 解：问题可以分 成 2类： 第一类 2名男生和 2名女生参加，有 225460CC 中选法； 第二类 3名男生和 1名女生参加，有 315440CC 中选法 依据分类计数原理，共有 100种选法 错解： 2 1 15 4 6 240C C C  种选法引导学生用直接法检验，可知重复的很多 例 10． 4名男生和 6名女生组成至少有 1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种。 解法一：（直接法）小组构成有三种情形： 3男， 2男 1女， 1男 2女，分别有 34C ， 1624 CC ，2614 CC ， 所以，一共有 34C + 1624 CC + 2614 CC ＝ 100种方法． 解法二：（间接法） 10036310 CC 四、组合数的两个性质 组合数的性质 1： mnnmn CC  ． 一般地，从 n 个不同元素中取出 m 个元素后，剩下 nm 个元素．因为从 n 个不同元素中取出 m个元素的每一个组合，与剩下的 n  m个元素的每一个组合 一一对应 ． ． ． ． ，所以从 n个不同元素中取出 m个元素的组合数，等于从这 n个元素中取出 n  m个元素的组合数，即：mnnmn CC  ．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想 证明：∵)!(! !)]!([)!( ! mnm nmnnmn nC mnn  又 )!(! ! mnm nCmn ，∴ mnnmn CC  说明：①规定： 10nC ； ②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标； ③此性质作用：当2nm时，计算 mnC 可变为计算 mnnC ，能够使运算简化 . 例如 20202020C ＝ 202020202020C ＝ 12020C =2020； ④ ynxn CC  yx 或 nyx  ． 2． 组合数的性质 2： mnC1 ＝ mnC + 1mnC ． 一般地，从 121 , naaa  这 n+1个不同元素中取出 m个元素的组合数是 mnC1 ，这些组合可以分为两类：一类含有元素 1a ，一类不含有 1a ．含有 1a 的组合是从 132 , naaa 这 n 个元素中取出 m 1 个元素与 1a 组成的，共有 1mnC 个；不含有 1a 的组合是从132 , naaa  这 n个元素中取出 m个元素组成的，共有 mnC 个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想． 证明：)]!1([)!1( !)!(! !1   mnm nmnm nCC mnmn )!1(! !)1(!   mnm mnmn )!1(! !)1(   mnm nmmn )!1(! )!1(  mnm n mnC1 ∴ mnC1 ＝ mnC + 1mnC ． 说明：①公式特征：下标相同而上标差 1的两个组合数之和，等于下标比原下标多 1而上标与大的相同的一个组合数； ②此性质的作用：恒等变形，简化运算 例 11． 一个口袋内装有大小不同的 7个白球和 1个黑球， （ 1）从口袋内取出 3个球，共有多少种取法。 （ 2）从口袋内取出 3个球，使其中含有 1个黑球，有多少种取法。 （ 3）从口袋内取出 3个球，使其中不含黑球，有多少种取法。 解：（ 1） 5638 C ,或 38C 27C 37C ，；（ 2） 2127 C ；（ 3） 3537 C ． 例 12． （ 1）。