高中数学2-1第2课时余弦定理同步导学案北师大版必修5

高中数学2-1第2课时余弦定理同步导学案北师大版必修5内容摘要：

［答案］ C ［解析］ 利用余弦定理判断最大角的余弦值是大于 0、等于 0 还是小于 0，即可对其形状作出判断 . cosB= 652 865 222   =2010,所以 B为钝角，即△ ABC是钝角三角形 . 探索延拓创新 命题方向 利用余弦定理确定范围问题 ［例 4］ 设 2a+1,a,2a1为钝角三角形的三边，求实数 a的取值范围 . ［分析］ 一边大于两边差而 小于两边和是任一个三角形三边都成立的条件 .若是在锐角或钝角三角形中，三边的制约条件还要更强 .若△ ABC为锐角三角形，则有 a2＜ b2+c2,b2＜a2+c2,c2＜ a2+b2。 若△ ABC 为钝角三角形，最大边为 a,则一定有 a2＞ b2+c2,这些都是可以从余弦定理中直接推导的 . ［解析］ 2a+1,a,2a1是三角形的三边 , 2a+1＞ 0 ∴ a＞ 0 2a1＞ 0， 解得 a＞ 21 ,此时 2a+1最大 . ∴要使 2a+1,a,2a1表示三角形 的三边，还需 a+(2a1)＞ 2a+1,解得 a＞ 2. 设最长边 2a+1所对的角为θ ,则 cosθ =     122 1212222  aa aaa=   122 8aaaa＜ 0, 解得 21 ＜ a＜ 8,∴ a的取值范围是 2＜ a＜ 8. ［说明］ 本题易忽视构成三角形的条件 a＞ 2,而直接应用余弦定理求解，从而使 a的范围扩大 . 变式应用 4. 已知锐角三角形三边长分别为 2， 3， x，求 x的取值范围 . ［解析］ 由三角形三边的关系有 32＜ x＜ 3+2，即 1＜ x＜ 5. 又∵三角形为锐角三角形，由余弦定理可知任一边的平方小于另两边平方和 . x2＜ 22+32 即 32＜ x2+22 x2＜ 13 x2＞ 5 5＜ x2＜ 13 即 x＞ 0 解得 5 ＜ x＜ 13 ， ∴ x的取值范围为（ 5 ， 13 ） . 名师辨误做答 ［例 5］ 在△ ABC中 ，∠ C=2∠ A,a+c=10,cosA=43 ,求 b. ［误解］ 由正弦定理，得 ac = ACsinsin 又∵∠ C=2∠ A, ∴ ac = AAsin2sin =2cosA=2 43 ＝ 23 ， 又 a+c=10, ∴ a=4,c=6. 由余弦定理，得 a2=b2+c22bccosA, ∴ b29b+20=0, ∴ b=4或 b=5. 运用余弦定理求边长时，易产生增解，因此要结合题目中隐含条件进行判断 . 由正弦定理，得 ac = ACsinsin , 又∵∠ C=2∠ A, ∴ ac = AAsin2sin =2cosA=2 43 ＝ 23 ， 又 a+c=10,∴ a=4,c=6. 由余弦定理，得 a2=b2+c22bccosA, ∴ b29b+20=0, ∴ b=4或 b=5. 当 b=4时，∵ a=4,∴∠ A=∠ B, 又∠ C=2∠ A,且∠ A+∠ B+∠ C=π , ∴∠ A=4 ,这与已知 cosA=43 矛盾，不合题意，舍去 . 当 b=5时，满足题意，∴ b=5. 课堂巩固训练 一、选择题 △ ABC中，若 abc,且 c2a2+b2,则△ ABC为（ ） ［答案］ B ［解析］ ∵ abc,且 c2a2+b2,∴∠ C为锐角 .又 ∵∠ C为最大角 .故选 B. 2.△ ABC的内角 A、 B、 C的对边分别为 a， b， c，若 a， b， c满足 b2=ac，且 c=2a,则 cosB=（ ） A. 41 B. 43 C. 42 D. 32 ［答案］ B ［解析］ 由 b2=ac，又 c=2a，由余弦定理，得 cosB= ac bca 2 222  = aa aaaa 22 24 22  =43 . 3.（ 2020四川理， 6）在△ ABC中， sin2A≤ sin2B+sin2CsinBsinC,则 A的取值范围是 ( ) A.(0, 6 ］ B.［ 6 ,π ) C.(0, 3 ］ D.［ 3 ,π ) ［答案］ C ［解析］ 本题主要考查正余弦定理，∵ sin2A≤ sin2B+sin2CsinBsinC, ∴由正弦定理得： a2≤ b2+c2bc，即 b2+c2a2≥ bc，由余弦定理得： cosA= bc acb 2 222  ≥bcbc2 =21 ，∴ 0A≤ 3 ，故选 C. 二、填空题 4和 5，它们的夹角的余弦值是方程 2x2+3x2=0的根，则第三边的长是 . ［答案］ 21 ［解析］ 解 2x2+3x2=0，得 x1=21 或 x2=2（舍去） . ∴夹角的余弦值为 21 ，根据余弦定理得第三边长为2154254 22 = 21 . △ ABC中， a=b+2,b=c+2,又最大角的正弦等于 23 ，则三边长为 .。