高中数学人教b版选修1-1第二章圆锥曲线与方程名校好题汇编解析版

高中数学人教b版选修1-1第二章圆锥曲线与方程名校好题汇编解析版内容摘要：

值范围是 ________． 【答案】 )32,21( 【解析】 试题分析：由图知 AF a c，点 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点 F ，把 xc 代入椭圆得22acBF a，所以  22ta n BF ack B A FA F a a c    ；又 2131 k ，即 2 2 21 1 1 1 1,3 2 3 1 2a c ea a c e    ，解得 1223e ，所以答案为 )32,21( . . 考点： 椭圆的性质； 直线的倾斜角和斜率； 直线和椭圆的位置 关系． 【思路点晴】本题考查的是椭圆和直线的位置关系、椭圆的几何性质和直线的斜率的知识，属于中档题；解此类问题时，数形结合是解决问题的关键．先根据图形，得出 AF a c ， 22acBF a，从而求出斜率的表达式  22ta n BF ack B A FA F a a c    ；再根据2131 k 和椭圆的几何性质，即可求出椭圆离心率的取值范围． 4. 【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学 20202020 学年高二上学期期中考试】 已知点( 2,0), (2,0)MN ，动点 P 满足条件 | | | | 2 2PM PN，则动点 P 的轨迹方程 ． 【答案】 22 1( 0)22xy x   【解析】 试题分析：依题意，点 P 的轨迹是以 MN， 为焦点的双曲线的右支，又∵ 2 0 2 0 2)) 2((M N P M P N  ， ， ， ，． ∴ 2 2ca， ， ∴ 所求方程为：22 1( 0)22xy x  . 考点：双曲线的定义 . 5. 【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学 20202020 学年高二上学期期中考试】 设 21 FF， 分别为椭圆 22 1( 0 )xy abab   的左、右焦点，椭圆上存在一点 P ，使得1 2 1 2 3| | | | 2 , | | | | ,2P F P F b P F P F a b   则椭圆的离心率为 【答案】 32 【解析】 试题分析： 由双曲线的定义可得， 122PF PF a， 由1 2 1 2 3| | | | 2 , | | | | ,2P F P F b P F P F a b   ，则有221 2 1 2 3| | , | | , | | | | 2P F a b P F a b P F P F a b a b        ，即有（ 3b4a）（ 3b+a） =0， 即有 2ab ， 所以 2 2 2 2 333, 22cbc a b b e ab      ． 考点： 椭圆的离心率 . 【思路点睛】 本题考查双曲线的定义和性质：离心率，由双曲线的定义可得， 122PF PF a， 再由条件，即可得到 ab， 的关系，再由 椭圆 的 性质可得 a b c， ， 的关系式，结合离心率公式，即可求得 ． 6. 【四川省绵阳南山中学 20202020学年高二上学期期中考试】 如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成。 为保证安全，要求行使车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有 米。 若行车道总宽度 AB 为 6 米，则车辆通过隧道的限制高度是 米（精确到 米） 【答案】 【解析】 试题分析 ：取抛物线的顶点为原点，对称轴为 y轴，建立直角坐标系，  4, 4C  ，设抛物线方程  2 20x py p  ，将点 C代入抛物线方程得 2p ，∴抛物线方程为 2 4xy ，行车道总宽度 AB=6m，∴将 3x 代入抛物线方程，  m ， 隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有  米 ∴限度为 6 2 .2 5 3 .2 5dm   ，则车辆通过隧道的限制高度是 考点：抛物线的应用 【方法点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解答二次函数的应用问题时，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义，求解时首先建立合适的坐标系（以抛物线的顶点 为原点建系），通过点的坐标得到曲线对应的抛物线方程，求得抛物线上点的坐标  3,y ，从而可确定 车辆顶部与隧道顶部在竖直方向上的距离，使其满足最小为 ，进而得到车辆的最大高度 7.【江西省吉安市第一中学 20202020学年高二上学期期中考试】 如图，椭圆222:14xyC a ( 2)a，圆 2 2 2:4O x y a  ，椭圆 C 的左、右焦点分别为 12,FF，过椭圆上一点 P和原点 O作直线 l 交圆 O 于 M， N 两点，若 12| | | | 6PF PF，则 | | | |PM PN的值为 . 【答案】 6 【解析】 试题分析： 设出 P 的坐标，把 P 的纵坐标用横坐标表示，然后由焦半径公式及12| | | | 6PF PF，求得 P 的横纵坐标的平方和，由对称性得到22 2 2 20204P M P N a O M a x y       ，代入横纵坐标的平方和后整理得答案． 设 00,P x y（ ） ， ∵ P 在椭圆上，∴ 2 20220001 4 14y yxxaa    ， （ ） ，      222221 2 0 0 022 6466 4aaaP F P F a e x a e x e xaa           ， ， ， ， 由对称性得   2 2 222 2 2 2 200226 4 64 4 4 4 644a a aP M P N a O M a x y a aa             ． 考点： 椭圆的简单几何性质 【方法点睛】 解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用 “ 点差法 ” 解决，往往会更简单． 三、解答题 1. 【吉林省实验中学 20202020学年高二上学期期中考 试】 (本题满分 12 分） 如图，已知圆 1: 22  yxO ，直线 )0,0(:  bkbkxyl 是圆的一条切线，且 l 与椭圆 12 22 yx 交 于不同的两点 BA, . （ 1）求 k 与 b 的关系； （ 2）若弦 AB 的长为 34 ，求直线 l 的方程 . 【答案】（ 1） k 与 b 的关系为 122 kb ；（ 2）直线 l 的方程为 2:  xyl ． 【解析】 试题分析：（ 1）根据圆的切线的性质，知圆心到切线的距离等于半径，即 112  kbd，化简得 122 kb ；（ 2） 设 ),(),( 2211 yxByxA ，把直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理得 2221221 21 22,21 4 kbxxkkbxx   ，代入弦长公式 2 121A B k x x  中，再根据（ 1）中的结论求出 2,1  bk ，所以直线 l 的方程为 2:  xyl ． 试题解析：（ 1）∵ 直线 l 与圆的相切，∴圆心到直线的距离 112  kbd，∴ 122  kb ； （ 2）由    2222 yxbkxy消去 y 得： 0224)21( 222  bk b xxk ， 设 ),(),( 2211 yxByxA ， 2221221 21 22,21 4 kbxxkkbxx   ， ∴ 2 2 21 2 1 2 1 21 1 ( ) 4A B k x x k x x x x      2 22 2 41 1 2 3kk k    ∴ 2,1  bk ∴ 2:  xyl . 考点： 圆的方程； 直线与椭圆的位置关系． 【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的定义、直线与圆锥曲线的位置关系，属于难题；解答此类问题时一定要先把直线方程和椭圆方程联立，用韦达定理表示出 12xx 和 12xx 的关系式，再代入弦长 2 121A B k x x  中，联立方程即可求出 k 与 b 的值，从而得 直线 l 的方程为 2:  xyl ． 2. 【吉林省实验中学 20202020学年高二上学期期中考试】 （本题满分 12 分） 已知圆 1)1(: 22  yxM ， 圆 9)1(: 22  yxN ，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C . （ I） 求曲线 C 的轨迹方程； （ II） l 是与圆 P 以及圆 M 都相切的一条直线， l 与曲线 C 交于两点 BA, ，当圆 P 的半径最长时， 求 AB 的长 . 【答案】（ I）曲线 C 的轨迹方程为22 1( 2)43xy x   ；（ II） AB 的长为 23或 187 ． 【解析】 试题分析：（ I）设动圆 P 的半径为 R ，由动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切得 1 3 4P M P N R R     ，而 2NM ，由椭圆的定义知，动点 P 的轨迹是以MN、 为焦点， 4为长轴长的椭圆，求出轨迹即可；（ II）由于2 2 4 2 2P M P N R     ，所以 2R ；当且仅当圆 P 的圆心为  2,0 ， 2R 时，其半径最大，其方程为 22( 2) 4xy  .再分：当直线 l 的斜率存在和不存在两种情况讨论即可求出弦长． 试题解析：（Ⅰ）由圆 1)1(: 22  yxM 的方程知，圆 心  1,0M  ，半径为 1；圆9)1(: 22  yxN 的圆心  1,0N ，半径为 3；设动圆 P 的半径为 R ，由动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切得  1 3 4P M P N R R     ，而 2NM ，由椭圆的定义知，动点 P 的轨迹是以 MN、 为焦点， 4为长轴长的椭圆，所以 2 2 22 , 1 , 3a c b a c    ，因此曲线 C 的轨迹方程为22 1( 2)43xy x   . （Ⅱ）设曲线 C 上任意一点  ,Pxy ，由于 2 2 4 2 2P M P N R     ，所以 2R ；当且仅当圆 P 的圆心为  2,0 ， 2R 时，其半径最大，其方程为 22( 2) 4xy  . 当直线 l 的斜率不存在时，则 l 与 y 轴重合，可得 23AB ； 当直线 l 的斜率存在时，由于圆 M 的半径 1R ，可知 l 与 x 轴不平行；设 l 与 x 轴的交点为Q ，则QP RQM r，可得  4,0Q ，所以可设  :4l y k x，由 l 于 M 相切可得23 11 kk ，解得 24k ； 当 24k 时，联立222 24143yxxy   ，得 27 8 8 0xx   ，∴ 1 2 1 288,77x x x x    ，所以2 2 212 2 8 8 1 81 1 ( ) ( ) 4 ( )4 7 7 7A B k x x         ； 由于对称性可知，当 24k 时，也有 187AB . 综上可知， AB 的长为 23或 187 . 考点： 椭圆的定义及性质； 圆与圆的位置关系； 直线与圆锥曲线的位置关系． 【方法点晴】本题综合考查了两圆的位置关系、直线与圆相切的问题、椭圆的定义及性质以及直线与椭圆的位置关系等，是一道综合性非常强的题目，属于难题；解此类问题需要较强的推理能力和计算能力、分类讨论的数学思想 .涉及直线和圆锥曲线的关系问题，常采用：直线与曲线联立后得到一元二次方程，利用韦达定理和弦长公式，使得问题简化，此类题目是高考试卷中常见的压轴题． 3. 【湖南省衡阳市第八中学 20202020学年高二上学期期中考试】（本小题 10 分） 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 轴，焦点在双曲线 上，求抛物线方程 . 【答案】抛物线方程为 y2＝ 8x或 y2＝－ 8x． 【解析】 试题分析：先表示出双曲线的顶点，根据题意即可求出抛物线的方程 . 试题解析：由题 意知抛物线的焦点为双曲线 4x2－ 2y2＝ 1的顶点，即为 (－ 2,0)或 (2,0)，所以抛物线的方程为 y2＝ 8x或 y2＝－ 8x . 考点： 双曲线的性质； 抛物线的定义． 4. 【湖南省衡阳市第八中学 20202020学 年高二上学期期中考试】（本小题 12分）命题方程 是焦点在 轴 上 的 椭 圆 ， 命 题 函数在 上单调递增 .若 为假，。