高中数学人教a版选修2-311分类加法计数原理和分步乘法计数原理

高中数学人教a版选修2-311分类加法计数原理和分步乘法计数原理内容摘要：

第三课时 3 综合应用 例 1. 书架的第 1层放有 4本不同的计算机书，第 2层放有 3本不同的文艺书，第 3层放 2本不同的体育书 . ①从书架上任取 1本书，有多少种不同的取法。 ②从书架的第 3层各取 1本书，有多少种不同的取法。 ③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法。 【分析】 ①要完成的事是“取一本书”，由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事，因此是分类问题，应用分类计数原理 . ②要 完成的事是“从书架的第 3 层中各取一本书”，由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分，只有第 3层都取后，才能完成这件事，因此是分步问题，应用分步计数原理 . ③要完成的事是“取 2本不同学科的书”，先要考虑的是取哪两个学科的书，如取计算机和文艺书各 1本，再要考虑取 1本计算机书或取 1本文艺书都只完成了这 件事的一部分，应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成，因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理 . 解 ： (1) 从书架上任取 1本书，有 3类方法：第 1类方法是从第 1层取 1本计算 机书，有 4 种方法；第 2 类方法是从第 2 层取 1本文艺书，有 3 种方法；第 3类方法是从第 3 层取 1 本体育书，有 2 种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数是 1 2 3N m m m   =4+3+2=9。 ( 2 ）从书架的第 1 , 2 , 3 层各取 1 本书，可以分成 3个步骤完成：第 1 步从第 1 层取 1 本计算机书，有 4 种方法；第 2 步从第 2 层取 1本文艺书，有 3 种方法；第 3 步从第 3层取 1 本体育书，有 2 种方法．根据分步乘法计数原理，不同取法 的种数是 1 2 3N m m m   =4 3 2=24 . （ 3） 26232434 N。 例 2. 要从甲、乙、丙 3幅不同的画中选出 2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法。 解：从 3 幅画中选出 2 幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第 1 步，从 3 幅画中选 1 幅挂在左边墙上，有 3 种选法；第 2 步，从剩下的 2 幅画中选 1 幅挂在右边墙上，有 2 种选法．根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是 N=3 2=6 . 6 种挂法可以表示如下： 分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题．区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事，分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事． 例 ，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有 3个不重复的英文字母和 3 个不重复的阿拉伯 数字，并且 3 个字母必须合成一组出现， 3个数字也必须合成一组出现．那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照。 分析：按照新规定，牌照可以分为 2类，即字母组合在左和字母组合在右．确定一个牌照的字母和数字可以分 6个步骤． 解：将汽车牌照分为 2 类，一类的字母组合在左，另一类的字母组合在右．字母组合在左时，分 6个步骤确定一个牌照的字母和数字： 第 1步，从 26个字母中选 1个，放在首位，有 26种选法； 第 2步，从剩下的 25个字母中选 1个，放在第 2位，有 25种选法； 第 3步，从剩下的 24个字母中选 1个，放在第 3位， 有 24种选法； 第 4步，从 10个数字中选 1个，放在第 4 位，有 10种选法； 第 5步，从剩下的 9个数字中选 1个，放在第 5位，有 9种选法； 第 6步，从剩下的 8个字母中选 1个，放在第 6位，有 8种选法． 根据分步乘法计数原理，字母组合在左的牌照共有 26 25 24 10 9 8=11 232 000（个） . 同理，字母组合在右的牌照也有 11232 000 个． 所以，共能给 11232 000 + 11232 000 = 22464 000（个） . 辆汽车上牌照． 用两个计数原理解决计数问题时，最重 要的是在开始计算之前要进行仔细分析 ― 需要分类还是需要分步．分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．分步要做到“步骤完整” ― 完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计。