高中数学人教a版选修2-3132“杨辉三角”与二项式系数的性质

高中数学人教a版选修2-3132“杨辉三角”与二项式系数的性质内容摘要：

因为二项式系数特指组合数 rnC ,故在① ,③中只需求组合数的和 ,而与二项式yx 32  中的系数无关 . 解：设 10102829110010)32( yayxayxaxayx  (*), 各项系数和即为 1010 aaa   ,奇数项系数和为 0 2 10a a a   ,偶数项系数和为9531 aaaa   , x 的奇次项系数和为 9531 aaaa   ,x 的偶次项系数和10420 aaaa   . 由 于 (*)是恒等式 ,故可用“赋值法”求出相关的系数和 . ①二项式系数和为 101010110010 2 CCC  . ②令 1yx ,各项系数和为 1)1()32( 1010  . ③奇数项的二项式系数和为 91010210010 2 CCC  , 偶数项的二项式系数和为 9910310110 2 CCC  . ④设 10102829110010)32( yayxayxaxayx  , 令 1yx ,得到 110210  aaaa  „ (1), 令 1x , 1y (或 1x , 1y )得 10103210 5 aaaaa „ (2) (1)+(2)得 101020 51)(2  aaa  , ∴奇数项的系数和为 251 10。 (1)(2)得 10931 51)(2  aaa  , ∴偶数项的系数和为 251 10 . ⑤ x 的奇次项系数和为 251 109531  aaaa 。 x 的偶次项系数和为 251 1010420  aaaa  . 点评 :要把“二项式系数的和”与“各项系数和” ,“奇 (偶 )数项系数和与奇 (偶 )次项系数和”严格地区别开来 ,“赋值法”是求系数和的常规方法之一 . 例 9． 已知 nxx 223 )(  的展开式的系数和比 nx )13(  的展开式的系数和大 992,求 nxx 2)12( 的展开式中 :①二项式系数最大的项。 ②系数的绝对值最大的项 . 解：由题意 992222  nn ,解得 5n . ① 101(2 )xx的展开式中第 6项的二项式系数最大 , 即 8 06 4)1()2( 55510156   xxCTT. ②设第 1r 项的系数的绝对值最大 , 则 rrrrrrrr xCxxCT 210101010101 2)1()1()2(   ∴110110101011011010102222rrrrrrrrCCCC ,得110101101022rrCCCC ,即    rr rr 10)1(2 211 ∴31138 r,∴ 3r ,故系数的绝对值最大的是第 4项 奎屯王新敞 新疆 例 10．已知： 2 23( 3 )nxx 的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大 992 ． （ 1）求展开式中二项式系数 最大的项；（ 2）求展开式中系数最大的项 奎屯王新敞 新疆 解：令 1x ，则展开式中各项系数和为 2(1 3) 2nn， 又展开式中二项式系数和为 2n ， ∴ 22 2 992nn ， 5n ． （ 1）∵ 5n ，展开式共 6 项， 二项式系数最大的项为第三、四两项， ∴ 22 3 2 2 6335 ( ) ( 3 ) 9 0T C x x x， 2 2 23 2 2 33345 ( ) ( 3 ) 2 7 0T C x x x， （ 2）设展开式中第 1r 项系数最大，则 2 1 0 452331 5 5( ) ( 3 ) 3 rr r r r rrT C x x C x  ， ∴ 11551133 7922r r r rr r r rCC r    ，∴ 4r ， 即展开式中第 5 项系数最大， 2 2 64 2 43355 ( ) ( 3 ) 4 0 5T C x x x． 例 11． 已知 )(12222 12211   NnCCCS nnnnnnnn ， 求证：当 n 为偶数时， 14  nSn 能被 64 整除 奎屯王新敞 新疆 分析：由二项式定理的逆用化简 nS ，再把 14  nSn 变形，化为含有因数 64 的多项式 奎屯王新敞 新疆 ∵ 1 1 2 2 12 2 2 2 1 ( 2 1 )n n n n nn n n nS C C C         。