高中数学1-4数列在日常经济生活中的应用同步导学案北师大版必修5

高中数学1-4数列在日常经济生活中的应用同步导学案北师大版必修5内容摘要：

，资金缺口为 255155=100（万元） .设每次向银行还款 x万元，则贷款 100万元，五年一共还清本金和利息共计 100（ 1+9%） 5万元 .第一次还款到第五年年底的本利和为 x(1+9%)4万元；第二次还款到第五年年底的本利和为 x(1+9%)3万元；第三次还款到第五年年底的本利和为 x(1+9%)2 万元；第四次还款到第五年年底的本利和 为x(1+9%)万元；第五次还款（无利息）为 x万元 .由题意得 x+x(1+9%)+x(1+9%)2+x(1+9%)3+ x(1+9%)4=100 (1+9%) )( 5x =100 ,所以 x≈ 元 . 探索延拓创新 命题方向 数列在日常生活中其他方面的应用 ［例 4］ 甲、乙两人连续 6年对某农村养鸡业的规模进行调查，提供了两条不同信息，如图所示 . 甲调查表明：由第 1年每个养鸡场出产 1万只鸡上升到第 6年平均每个养鸡场出产 2万只鸡 . 乙调查表明：由第 1年 30个养鸡场减少到第 6年 10个养鸡场 .请您根据提供的信息回答： （ 1）第 2年养鸡场的个数及全村出产鸡的总只数； （ 2）到第 6年这个村养鸡业的规模比第 1年扩大了还是缩小了。 请说明理由 . （ 3）哪一年的规模最大。 请说明理由 . ［分析］ 审清题意，弄清图甲表示每个养鸡场平均出产鸡的只数（单位：万只），图乙表示该村所拥有的养鸡场的个数（单位：个） . ［解析］ （ 1）由图可知：第 2年养鸡场的个数是 26个，每个养鸡场平均出产 ，那么全村出产鸡的总只数是 S2=26 =(万只 ). (2)第 1 年总共出产鸡的只数是 S1=30 1=30(万只 )；第 6 年总共出产鸡的只数是 S6=210=20(万只 )，由此得出 S6S1,这说明规模缩小了 . (3)由图可知：每年平均每个养鸡场出产的鸡的只数所满足的数列为 an=1+(n1)=+(1≤ n≤ 6).每年的养鸡场的个数所满足的数列为 bn=304(n1)=4n+34(1≤ n≤ 6). 第 n年出产的鸡的只数满足的数列为 Sn=anbn =52 (2n2+9n+68)= 54（ n49） +4125 (1≤ n≤ 6). 因为 n∈ N+,故当 n=2时， Sn最大，即第 2年规模最大 . ［说明］ 依此图像建立等差数列模型，问题就能得到解决 .每年的总出产量则要与二次函数联系， n为正整数不能忽略，利用数列与函数的关系解决，是本类问题的特色 . 名师辨误做答 ［例 5］ 某工厂去年的产值为 138 万元，预计今后五年的每年比上一年产值增长 10%，从今年起计算，第 5年这个工厂的产值是多少元。 （精确到 万元） ［误解］ 依题意，该工厂每年的产值组成一个等比数列 {an}. 其中 a1=138,q=1+10%=,n=5. ∴ a5=a1q4=138 ≈ 202(万元 ). ［辨析］ 138 万元是去年的产值，从今年算起，则 a1=138 ，由于首项弄错而造成错误 . ［正解］ 依题意，该工厂每年的产值组成一个等比数列 {an}.其中 a1=138 , ∴ a5=a1q4=138 =138 ≈ 222(万元 ). 课堂巩固训练 一、选择题 .“直接推算 法”使用的公式是 pn=p0(1+k) n(k1)，其中pn为预测期人口数， p0为初期人口数， k为预测期内年增长率， n为预测期间隔年数 .如果在某一时期有 1k0，那么在这期间人口数（ ） ［答案］ B ［解析］ ∵ 1k0， ∴ 0k+11， pn0, 又∵nnpp 1 = 100 )1( )1(  nnkp kp =1+k1， ∴ pn+1pn. 即数列 {pn}为递减数列 . ，他让一弹性球从 100m 高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第 10次着地时所经过的路程和为（ ） ［答案］ B ［解析］ 由题意知，弹球第 1 次着地时经过的路程是 100m，从这时到弹球第 2次着地时 共经过了 2210m，从这时到弹球第 3次着地时共经过 22210m,„„ ,到第 10次时应为 29210m. ∴ S10=100+2210+22210+„ +29210＝ 100+100（ 1+21 +„ +821）＝ 100+211 2111009 ）（ ≈ 100+＝ （ m） . p%， q%，则这两年的平 均增长率是（ ） A. 2 ％％ qp  % q% C. %)% )(1(1 qp  D. 1%)% )(1(1  qp ［答案］ D ［解析］ 设该工厂最初的产值为 1，经过两年的平均增长率为 r，则 (1+p%)(1+q%)=(1+r) 2. 于是 r= %)1% )(1( qp  1. 二、填空题 2020 年的月产值按等差数列增长，第一季度总产值为 20 万元，上半年总产值为60万元，则 2020年全年总产值为 元 . ［答案］ 200 3a1+ 2 )13(3  d=20 ［解析］ 由题意，得 ， 6a1+ 2 )16(6  d=60 a1= 940 解得 . d= 920 所以 S12=12 940 + 2 )112(12  920 =200. 5.(2020湖北理， 13)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4节的容积共 3升，下面 3节的容积共 4升，则第 5节的容积为 升 . ［答案］ 6667 ［解析］ 本题考查等差数列通项公式、前 n项和公式的基本运算 . 设此等差数列为 {an}，公。