苏教版选修2-2高中数学第二章推理与证明

苏教版选修2-2高中数学第二章推理与证明内容摘要：

1 ∴412 )1()1(02   aaaa 同理： 41)1(  bb , 41)1(  cc 以上三式相乘： (1  a)a•(1  b)b•(1  c)c≤ 641 与①矛盾 ∴原式成立 例 已知 a + b + c 0， ab + bc + ca 0， abc 0，求证：a, b, c 0 证：设 a 0, ∵ abc 0, ∴ bc 0 又由 a + b + c 0, 则 b + c = a 0 ∴ ab + bc + ca = a(b + c) + bc 0 与题设矛盾 又：若 a = 0，则与 abc 0 矛盾， ∴必有 a 0 同理可证： b 0, c 0 巩固练习：第 83 页练习 6 课后作业：第 84 页 6 教学反思： 反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。 反证法可以分为归谬反证法 (结论的反面只有一种 )与穷举反证法 (结论的反面不只一种 )。 用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为： (1)反设； (2)归谬； (3)结论。 反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是； 存在 /不存在；平行于 /不平行于；垂直于 /不垂直于；等于 /不等于；大 (小 )于 /不大 (小 )于；都是 /不都是；至少有一个 /一个也没有；至少有 n 个 /至多有 (n 一 1)个；至多有一个 /至少有两个；唯一 /至少有两个。 归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。 推理必须严谨。 导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。 课题 :数学归纳法 一、 教学目标： 1．了解数学 归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。 2．掌握数学归纳法证明问题的方法。 3． 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。 二、教学重点： 掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法。 难点： 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。 三、教学过程： 【创设情境】 1．华罗庚的“摸球实验”。 2．“多米诺骨牌实验”。 问题： 如何保证所摸的球都是红球。 多米诺骨牌全部倒下。 处了利用完全归纳法全部枚举之外，是否还有其它方法。 数学归纳法：数学归纳法实际上是一种以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷的归纳过程转化为一 个有限步骤的演绎过程，是处理自然数问题的有力工具。 【探索研究】 1． 数学归纳法的本质： 无穷的归纳→有限的演绎（递推关系） 2． 数学归纳法公理： （ 1）（递推奠基）：当 n 取第一个值 n0结论正确； （ 2）（递推归纳）：假设当 n=k(k∈ N*，且 k≥ n0)时结论正确；（归纳假设） 证明当 n=k+1 时结论也正确。 （归纳证明） 由 (1)， (2)可知，命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都正确。 【例题评析】 例 1： 以知数列 {an}的公差为 d，求证： 1 ( 1)na a n d   说明： ①归纳证明时， 利用归纳假设创造递推条件，寻求 f(k+1)与 f(k)的递推关系，是解题的关键。 ②数学归纳法证明的基本形式； （ 1）（递推奠基）：当 n 取第一个值 n0结论正确； （ 2）（递推归纳）：假设当 n=k(k∈ N*，且 k≥ n0)时结论正确；（归纳假设） 证明当 n=k+1 时结论也正确。 （归纳证明） 由 (1)， (2)可知，命题对于从 n0开始的所有正整数 n 都正确。 EX:。 P88 2,3 2. 用数学归纳法证明 2)1()13(1037241  nnnn 例 2： 用数学归纳法证明 1 1 1 11 2 3 1n n n     (n∈ N,n≥ 2) 说明： 注意从 n=k 到 n=k+1 时 ,添加项的变化。 EX:1. 用 数 学 归 纳 法 证明 : 1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 2 1 2 1 2 2n n n n n            (1)当 n=1 时 ,左边有 _____项 ,右边有 _____项； (2)当 n=k 时 ,左边有 _____项 ,右边有 _____项； (3)当 n=k+1 时 ,左边有 _____项 ,右边有 _____项； (4)等式的左右两边 ,由 n=k 到 n=k+1 时有什么不同 ? 变题 : 用数学归纳法证明21 1 1 12 2 2 n    (n∈ N+) 例 3： 设 f(n)=1+ 1 1 123 n  ,求证 n+f(1)+f(2)+„ f(n1)=nf(n) (n∈ N,n≥ 2) 说明： 注意分析 f(k)和 f(k+1)的关系。 【课堂小结】 1． 数学归纳法公理： （ 1）（递推奠基）：当 n 取第一个值 n0结论正确； （ 2）（递推归纳）：假设当 n=k(k∈ N*，且 k≥ n0)时结论正确；（归纳假设） 证明当 n=k+1 时结论也正确。 （归纳证明） 由 (1)， (2)可知，命题对于从 n0 开始的所有 正整数 n 都正确。 2. 注意从 n=k 到 n=k+1时 ,添加项的变化。 利用归纳假设创造递推条件，寻求 f(k+1)与 f(k)的递推关系 . 【反馈练习】 1．用数学归纳法证明 3k≥ n3(n≥ 3,n∈ N)第一步应验证 ( ) A 新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp::/ n=1 B 新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp::/ n=2 C 新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp::/ n=3 D 新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp::/ n=4 2． 用数学归纳法证明  1 1 11123 12 n n n N n       且第二步证明从 “k 到 k+1”，左端增加的项数是 ( ) A. 12k B 12k C 2k D 12k 3．若 n 为大于 1 的自然数，求证新疆王新敞特级教师 源头学子小屋htp:@:/新疆 2413212111  nnn 新疆源头学子小屋特级教师王新敞htp:@:/ 证明 新疆王新敞特级教师 源头学子小屋htp::/ (1)当 n=2 时， 241312722 112 1  (2)假设当 n=k 时成立，即 2413212111  kkk  2413)1)(12(21241322112124131122112124131111221121213121,1kkkkkkkkkkkkkkkn 时则当。