新人教a版高中数学选修2-131空间向量及其运算

新人教a版高中数学选修2-131空间向量及其运算内容摘要：

向量 a、 b 共面 ∴ 由平面向量基本定理得：存在一对有序实数对 x， y，使得 p= xa+yb． 充分性：如图，∵ xa， yb 分别与 a、 b 共线， ∴ xa， yb 都在 a、 b 确定的平面内． 又∵ xa+yb是以｜ xa｜、｜ yb｜为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量，并且此平行四边形在 a、 b 确定的平面内， ∴ p= xa+yb 在 a、 b 确定的平面内，即向量 p 与向量 a、 b 共面． 说明：当 p、 a、 b 都是非零向量时，共面向量 定理实际上也是 p、 a、 b 所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内． 6. 共面向量定理的推论是： 空间一点 P在平面 MAB内的充要条件是存在有序实数对 x， y，使得 MP xMA yMB，① 或对于空间任意一定点 O，有 O P O M x M A y M B  ．② 分析：⑴推论中的 x、 y 是唯一的一对有序实数； ⑵由 OP OM x M A y M B  得：( ) ( )O P O M x O A O M y O B O M    ， ∴ (1 )OP x y OM x OA y OB     ③ 公式①②③都是 P、 M、 A、 B 四点共面的充要条件． 7. 例题：课本 P95 例 1 ，解略． → 小结：向量方法证明四点共面 三、巩固练习 1. 练习：课本 P96 练习 3 题 . 2. 作业：课本 P96 练习 2 题 . 第四课时 空间向量的数量积运算 教学要求 ：掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题 . 教学重点 ： 两个向量的数量积的计算方法及其应用． 教学难点 ： 向量运算在几何证明与计算中的应用 ] 教学过程 ： 一、复习引入 ： 2. 平面向量中有两个平面向量的数量积，与其类似，空间两个向量也有数量积 . 二、新课讲授 1. 两个非零向量夹角的概念：已知两个非零向量 a 与 b，在空间中任取一点 O，作 OA ＝ a， OB ＝ b，则∠ AOB叫做向量 a 与 b 的夹角，记作＜ a,b＞． 说明：⑴规定： 0 ＜ a， b＞  ． 当＜ a、 b＞＝０时， a 与 b同向； 当＜ a、 b＞＝ π 时， a 与 b 反向； 当＜ a、 b＞＝ 2 时，称 a 与 b 垂直，记 a⊥ b． ⑵ 两个向量的夹角唯一确定且＜ a,b＞＝＜ b,a＞． ⑶ 注意：①在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的． ②＜ a,b＞  (a,b) 2. 两个向量的数量积 ： 已知空 间两个向量 a 与 b， |a||b|cos＜ a、 b＞叫做 向量 a、 b 的数量积 ，记作 a b，即 a b＝ |a||b|cos＜ a,b＞ . 说明：⑴零向量与任一向量的数量积为 0，即 0 a＝０； ⑵符号“ ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替 . 几何意义：已知向量 AB ＝ a 和轴 l， e 是 l 上和 l 同方向的单位向量．作点 A 在 l 上的射影A′，点 B 在 l 上的射影 B′，则 39。 39。 AB 叫做 向量 AB 在轴 l 上或在 e 方向上的正射影 ，简称 射影 ．可以证明： 39。 39。 AB ＝｜ AB ｜ cos＜ a,e＞＝ a e．说明：一个向量在轴上的投影的概念，就是 a e 的几何意义． 3. 空间数量积的性质：根据定义，空间向量的数量积和平面向量的数量积一样，具有以下性质： ⑴ a e＝｜ a｜ cos＜ a,e＞； ⑵ a⊥ b a b＝０ ⑶当 a 与 b 同向时， a b＝｜ a｜｜ b｜； 当 a 与 b 反向时， ab＝－｜ a｜ ｜ b｜ . 特别地， aa＝｜ a｜ 2或｜ a｜＝ 2a a a . ⑷ cos＜ a,b＞＝ abab。 ⑸｜ a b｜≤｜ a｜｜ b｜ . 4. 空间向量数量积的运算律 ： 与。