高中数学北师大版选修1-2第三章推理与证明第4课时反证法精品学案

高中数学北师大版选修1-2第三章推理与证明第4课时反证法精品学案内容摘要：

找矛盾 .本题给出了两个条件 “a+b=c+d=1,ac+bd1”,显然应将这两个条件联系起来 ,这样很自然地想到利用 (a+b)(c+d)=(ac+bd)+(ad+bc)建立两个已知的关系 ,从而为找矛盾奠定基 础 . 已知 a,b,c∈ (0,1),求证 :(1a)b,(1b)c,(1c)a 不能同时大于 . 【解析】 假设三式同时大于 , 即 (1a)b,(1b)c,(1c)a, ∵ a,b,c∈ (0,1), ∴ 三式同向相乘得 (1a)b(1b)c(1c)a, 又 (1a)a≤()2=, 同理 ,(1b)b≤,(1c)c≤, ∴ (1a)b(1b)c(1c)a≤,这与假设矛盾 ,故原命题得证 . 已知 a 与 b 是异面直线 .求证 :过 a 且平行于 b 的平面只有一个 . 【解析】 如图 ,假设过直线 a且平行于 直线 b 的平面有两个 ,分别为平面 α和 a上取点 A,过 b和 A 确定一个平面 γ,且 γ与 α、 β分别交于过点 A的直线 c、 d,由 b∥ α知 b∥ c,同理 b∥ d,故 c∥ d,这与 c,d 相交于点 A 矛盾 ,故假设不成立 ,所以原结论成立 . 若 a、 b、 c均为实数 ,且 a=x22y+,b=y22z+,c=z22x+.求证 :a、 b、 c 中至少有一个大于 0. 【解析】 假设 a、 b、 c 都不大于 0,即 a≤0,b≤0,c≤0, 所以 a+b+c≤0, 而 a+b+c =(x22y+)+(y22z+)+(z22x+) =(x22x)+(y22y)+(z22z)+π =(x1)2+(y1)2+(z1)2+π3≥π30. 这与 a+b+c≤0 矛盾 ,故 a、 b、 c 中至少有一个大于 0. ( ). ① 结论相反的判断即假设。 ② 原命题的条件。 ③ 公理、定理、定义等。 ④ 原结论 . A.①② B.①②④ C.①②③ D.②③ 【解析】 反证法是从对原命题结论的否定开始的 ,故结论相反的判断即假设可作为条件使用 ,从而原结论不可作为条件应用 .同时原命题的条件未改变 ,也可作为条件来使用 ,还有一些公理、定理、定义等也可作为条件来使用 . 【答案】 C “三角形中最多只有一个内角是钝角 ”的结论的否定是 ( ). 【答案】 C “若 x0,y0 且 x+y2,则和中至少有一个小于 2”时 ,假设为“ ”. 【答案】 和都不小于 2 :如果 x,那么 x2+2x1≠0. 【解析】 假设 x2+2x1=0,则 x=1177。 . 容易看出 1,下面证明 1+. 要证。