高中数学北师大版选修1-2第一章统计案例第2课时回归分析的应用精品学案

高中数学北师大版选修1-2第一章统计案例第2课时回归分析的应用精品学案内容摘要：

重为y== kg. 【小结】 解析中 b= 是斜率的估计值 ,说明身高 x 每增加 1 个单位时 ,体重 y 就增加 kg,这表明体重与身高具有正的线性相关关系 .尽管身高 172 cm 的女大学生的体重不一定是 kg,但一般可以认为她的体重接近 kg. 可线性化的非线性回归问题 一只红铃虫的产卵数 y 和温度 x 之间的 7 组观测数据列于下表 : 温度 x/℃ 21 23 25 27 29 32 35 产卵数 y/个 7 11 21 24 66 115 325 试建立 y 与 x 之间的回归方程 ,并预测温度为 28 ℃ 时产卵数目 . 【方法指导】 作出散点图 (或根据已知的散点图 )分析欲采用较为恰当的拟合曲线 ,用换元法转化成线性关系再进行回归分析 . 【解析】 选择 变量 ,画散点图 . 在散点图中 ,根据已有的函数知识 ,可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线 y=c1 的周围 ,其中 c1和 c2是待定参数 .即问题变为如何估计待定参数 c1和 把指数关系变为线性关系 .令 z=ln y,则变换后样本点应该分布在直线 z=bx+a(a=ln c1 ,b=c2)的周围 .这样 ,就可以利用线性回归模型来建立 y 和 x 之间的非线性回归方程了 . 由已知表的数据可以得到变换后的样本数据表 (下表 ): x 21 23 25 27 29 32 35 z 下图给出了表中数据的散点图 .从图中可以看出 ,变换后的样本点分布在一条直线附近 ,因此可以用线性回归方程来拟合 . 由表中的数据得到线性回归方程 z=. 相关系数 r≈. 因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为 y=. 当 x=28 ℃ 时 ,y ≈49. 预测当气温为 28 ℃ 时 ,产卵数为 49 个 . 综上所述 ,在本题中指数函数模型比一元线性模型、二次函数模型有更好的拟合效果 . 【小结】 对于给定 的样本点 (x1,y1),(x2,y2),… ,(xn,yn),其中 a 和 b 都是未知参数 .应先根据散点图或利用相关系数 r 判断两变量间是否存在线性相关关系 ,若两变量线性相关性显著 ,采用例 1 的方法进行线性回归分析。 若两变量线性相关性不显著 ,则可采用例 2 的方法和步骤进行拟合效果分析 . 在某种产品表面进行腐蚀线实验 ,得到腐蚀深度 y 与腐蚀时间 t 之间对应的一组数据 : 时间 t(s) 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120 深度 y(μm) 6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46 试求腐蚀深度 y 对时间 t 的回归直线方程 . 【解析】 经计算可得相关系数 r≈,所以可以认为 y 与 t 之间有较强的线性相关关系 . ≈,≈,=36750,=5422,tiyi=13910. b==≈. a=b=≈. 故所求的回归直线方程为 y=+. 一机器可以按各种不同的速度运转 ,其生产物件有一些会有缺点 ,每小时生产有缺点物件的多少随机器运转速度而变化 ,用 x 表示转速 (单位 :转 /秒 ),用 y 表示每小时生产的有缺点物件个数 ,现观测得到 (x,y)的 4 组观测值为 (8,5),(12,8),(14,9),(16,11). (1)假定 y 与 x 之间有线性相关关系 ,求 y 对 x 的回归直线方程。 (2)若实际生产中所容许的每小时最大有缺点物件数为 10,则机器的速度不得超过多少转/秒 .(精确到 1 转 /秒 ) 【解析】 (1)设回归直线方程为 y=bx+a,=,=,=660,xiyi=438. 于是 b===,a=b=== . 故所求的回归直线方程为 y=x. (2)由 y=x≤10,得 x≤≈15, 即机器速度不得超过 15 转 /秒 . 为了研究某种细菌随时间。