新人教a版高中数学选修4-5用数学归纳法证明不等式2篇内容摘要：

，当 n为大于 1的自然数时，原不等式成立 . 温馨提示 用数学归纳法证明不等式时，从 P(k)到 P(k+1)的过渡往往用到不等式的传 递性，即要证 n=k+1时不等式成立〔不妨用 A(k+1)≥B(k+1)表示〕，需 n=k时， A（ k） ≥B(k)成立 ,然后有 A（ k+1）=A(k)+C(k)≥B(k)+C(k), 类题演练 2 在数列 {an}中， |an|2,且 an+1an2an+1+2an0, 求证： an n2 (n∈ N). 证明： ∵ |an|2, ∴ 2an2.∴ 2an0. 由题设 an+1(2an)2an,则 an+1nnaa22 . 1176。 当 n=1时，由 |an|2,得 a12= 12 成立 . 2176。 假设当 n=k时，有 ak k2 成立 .（下证 ak+1 12k 成立） 设 f(x)= xx22 ,易知 f(x)在 (2,2)内是单调递增的，又 ak+1f(ak),由归纳假设 ,可知 ak k2 , ∴ ak+1f(ak)f( k2 )=1222)2(2kkk ,即当 n=k+1时， ak+112k 成立 .故对任意 n∈ N，an n2 成立 . 变式提升 2 设 a,b∈ R*,n∈ N*,求证： 2 nn ba  ≥( 2ba )n. 证明： ① n=1时，左边 =右边 = 2ba ,原不等式成立 . ② 设 n=k时 ,原不等式成立，即 2 kk ba  ≥( 2ba )k成立 . ∵ a,b∈ R+,∴ 2ba 2 kk ba  ≥ 2)( 1 kba 成立 . ∴ 要证明 n=k+1时原不等式成立，即证明 )2(2 11 baba kk  k+1成立 . 只需证明 :222 11 kkkk bababa  成立 . 只需证明 :ak+1+bk+1≥abk+akb成立 . 下面证明 :ak+1+bk+1≥abk+akb成立 . 不妨设 a≥b0,则 ak+1+bk+1abkakb=(akbk)(ab)≥0. ∴ ak+1+bk+1≥abk+akb成立 . 故 n=k+1时原不等式成立 . 由 ①② ,可知对于任何 n∈ N*，原不等式成立。
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