新人教a版高中数学选修2-216微积分基本定理3篇

新人教a版高中数学选修2-216微积分基本定理3篇内容摘要：

而 ( ) ( )S t v t 。 说出你的发现 ⑵ 微积分基 本定理 对于一般函数 ()fx，设 ( ) ( )F x f x  ，是否也有 ( ) ( ) ( )ba f x d x F b F a。 若上式成立，我们就找到了用 ()fx 的 原函数 （即满足 ( ) ( )F x f x  ）的数值差( ) ( )F b F a 来计算 ()fx在 [, ]ab 上的定积分的方法。 设 ( ) ( )F x f x  则 在 [, ]ab 上 ，⊿ y= ( ) ( )F b F a 将 [, ]ab 分成 n 等份，在第 i个区间 [xi1,xi]上，记⊿ yi=F(xi)F(xi1),则 ⊿ y=∑ ⊿ yi 如下图，因为⊿ hi=f(xi1) ⊿ x 而⊿ yi≈ ⊿ hi 所以 ⊿ y≈∑ ⊿ hi=∑ f(xi1) ⊿ x 故 ⊿ y=lim∑ ⊿ hi=∑ f(xi1) ⊿ x= ba dxxf )( 即 ba dxxf )(= ( ) ( )F b F a 所以有 微积分基本定理 ： 如果函数 ()Fx是 [, ]ab 上的连续函数 ()fx的任意一个原函数，则 ( ) ( ) ( )ba f x d x F b F a ba dxxf )( （ 此处并不要求学生理解证明的过程 ） 为了方便起见，还常用 ( )|baFx 表示 ( ) ( )F b F a ，即 ( ) ( ) | ( ) ( )b baa f x d x F x F b F a   该式称之为微积分基本公式或牛顿 — 莱布尼兹公式。 它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。 因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响， 是微积分学中最重要最辉煌的成果。 ⑶ 应用举例 例 1．计算下列定积分： （ 1） 21 1dxx； （ 2） 321 1(2 )x dxx。 解：（ 1）因为 39。 1(ln )xx， 所以 2 211 1 l n | l n 2 l n 1 l n 2d x xx    。 （ 2））因为 2 39。 39。 211( ) 2 , ( )xx xx  ， 所以 3 3 3221 1 1( 2 ) 2x d x x d x d x     2 3 3111 1 2 2| | ( 9 1 ) ( 1 )33x x      。 练习： 计算 1 20xdx 解：由于 313x 是 2x 的一个原函数，所以根据牛顿 — 莱布尼兹公式有 1 20xdx= 3101 |3x= 33111033   =13 例 2．计算下列定积分： 2200s in , s in , s inx d x x d x x d x  。 由计算结果你能发现什么结论。 试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。 解：因为 39。 ( cos ) sinxx， 所以 00 s in ( c o s ) | ( c o s ) ( c o s 0 ) 2x d x x        ， 2 2s in ( c o s ) | ( c o s 2 ) ( c o s ) 2x d x x          ， 2 200 s in ( c o s ) | ( c o s 2 ) ( c o s 0 ) 0x d x x         . 可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是 0: ( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时（图 一 3 ) ，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积； 图 1 . 6 一 3 ( 2 ） （ 2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时（图 1 . 6 一 4 ) ，定积分的值取负值，且等 于曲边梯形的面积的相反数； ( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为 0（图 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积． 例 3． 汽车以每小时 32 公里速度行驶，到某处需要减速停车。 设汽车以等减速度 a =米 /秒 2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离。