20xx届高考数学一轮复习讲义：87立体几何中的向量方法(ⅱ)求空间角与距离

20xx届高考数学一轮复习讲义：87立体几何中的向量方法(ⅱ)求空间角与距离内容摘要：

求点到平面的距离，若用向量知识，则离不开以该点为端点的 平面的斜线段． 方法与技巧1 ．利用向量求角，一 定要注意将向量夹角转化为各空间角．因 为向量夹角与各空间角的定义、范围不同． 2 ．求点到平面的距离，有时利用等积法求解可能更方便． 失误与防范点、线、面之间的位置关系 空间几何体 空间几何体的结构 空间几何体的体积、表面积 柱、锥、台、球的结构特征 三视图与直观图的画法 知识网络知识网络空间角 角的范围 图形 计算公式 线线角 线面角 面面角 BAnnBAsin| c os , |||| || |BA nBA nBA n c o s| c o s , |ab ab[0 , ]2 ( 0 , ]2 [0, ] 12,nn  121212c o s , | | | |nnnn nn  12,nn   l1n2n1n2nlab要点梳理l l ① 法向量法   1n1n2n2n12nn，12nn，12nn ，12nn  ，cos 12c os ,nn cos 12c os ,  nn注意 法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角 要点梳理 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量 (在二面角的面内且垂直于二面角的棱 )的夹角 . , , ,A B l A B C D l C D   c o s c o s , A B C DA B C DA B C D D C B A ② 方向向量法： 设二面角 αlβ的大小为 θ， 其中 l 要点梳理① 点 P在棱上 ② 点 P在一个半平面上 ③ 点 P在二面角内 ι p α β A B A B p α β ι A B O α β ι p — 定义法 — 三垂线定理法 — 垂面法 作二面角的平面角的常用方法 要点梳理 l  2. 垂线法 PABO要点梳理空间角 图形 角的范围 计算公式 线线角 线面角 面面角 BAnnBAsin| c os , |||| || |BA nBA nBA n c o s| c o s , |ab ab12,nn  121212c os , | | | |nnnn nn  12,nn   l1n2n1n2nlab[0 , ]2 ( 0 , ]2 [0, ]要点梳理求点到平面的距离 定义 :一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做 点到平面的距离 .即过这个点到平面的垂线段的长度 . A B  O 方法 2:等体积法求距离 . 方法 1:利用定义先做出过这个点到平面的垂线段 ,再计算这个垂线段的长度 . | | | | s i nd P O P A  A P O  点 P为平面外一点，点 A为平面内的任一点，平面的法向量为 n , 过点 P作平面 的垂线 PO，记 PA和平面 所成的角为 . 则点 P到平面的距离 ||||| | | |n P APAn P A ||.||n P Ann求点到平面的距离 方法 3:向量法 ||||n P Adn空间的角 异面直线所成的角 直线与平面所成的角 二面角 范 围 ： [0 , 9 0 ]||c o s| | | |abab空间的距离 点到平面的距离 直线与平面所成的距离 平行平面之间的距离 相互之间的转化 c os c os c os  直线与平面所成的角 异面直线所成的角 定义法 POABlA BCDll2n1n法向量法 方向向量法 范 围 ： ( 0 , 9 0 ]范 围 ： [0 ,1 8 0 ]θabanaθl||||andn1212c o s | | | |nnnn  ||s in| | | |anan例 1 ． 已知 ABCD 是正方形， PD ⊥ 平面 ABCD ， PD = AD = 2. ( 1) 求 PC 与平面 P B D 所成的角； ( 2) 求点 D 到平面 P A C 的距离； ( 3) 在线段 PB 上是否存在一点 E ，使 PC ⊥ 平面 A D E。 若存在，确定 E 点的位置，若不存在，说明理由 . A BCDP则 D(0,0,0), A(2,0,0), O(1,1,0), B(2,2,0), C(0,2,0), P(0,0,2)， (1)∵ 正方形 ABCD， ∴ OC⊥ DB. ∵ PD⊥ 平面 ABCD,OC⊂平面 ABCD， ∴ PD⊥ OC. ∴∠ CPO为 PC与平面 PBD所成的角 . ( 0, 2, 2 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ,P C P O   3c o s , .2| | | |P C P OP C P OP C P O    所以 PC与平面 PBD所成的角为 300. ABCDPzxyO解 : 如图建立空间直角坐标系 Dxyz,∵ PD=AD=2, 又 ∵ DB∩PD=D, ∴ OC⊥ 平面 PBD. ( , , ) ,n x y z(2)设平面 PAC的法向量为 00 ,00n P A x zyzn P C       ,即令 x=1, 则 y=1, z=1， ( 1 , 1 , 1 ) .n ( 2 , 0 , 0) ,DA 又| | 2 2 3 .3| | 3n D Adn   所以 D到平面 PAC的距离 23.3ABCDPzxy(3) 假设在 PB上存在 E点，使 PC⊥ 平面 ADE， ,PE PB设( 2, 2, 2 ) ,PB  ( 2 , 2 , 2 ) .PE     D E D P PE ( 2 , 2 , 2 2 ) .     ( 2 2, 2 , 2 2 ) .AE AP P E      8 4 0,PC A E    1 ,2 解 得所以存在 E点且 E为 PB的中点时 PC⊥ 平面 ADE. 【 点评 】 这类探索问题用向量法来分析容易发现结论 . ABCDPzxyE由 PC⊥ AE, PC⊥ DE, 得 8 4 0,PC DE    此时 E(1,1,1). A C D E B 例 2． 解 ： (Ⅰ ) M( 1 , 0, 0 ) ,DE   21( , , ) .22A D t设平面 ADE的法向量为 1 1 1 1( , , ) ,n x y z110,0.n DEn A D 则11 1 10,21 0.22xx y t z  1 1 122 , , 0 ,y z xt  令 则 12( 0 , 2 , ) .ntM设 ,A M A BP则 ,C M C A A M C A A B   11( , 0 , ) ( , 0 , )22tt    11( , 0 , ) .22 tt    P M C M C P   211( , 0 , ) ( 0 , , 0 )2 2 4tt     211( , , ) .2 2 4 tt     2211( , , ) ( 0 , 2 , ) 0 ,2 2 4 tt t     即,P M A D E P n若 ∥ 平 面 ， M n 2 2 ( 1 ) 0 ,2       12 解 之 ， 得 .所以 ， 设平面 ABE的法向量为 2 2 2 2( , , ) ,n x y z220,0.n B En B A 则（ Ⅱ ） 由（ Ⅰ ）得， 2222 0,21 0.2yx tz  2 2 212 , , 0 ,x z yt   令 则21( 2 , 0 , ) .n t  45 ,CE A B E 由 与 平 面 所 成 角 是22| 2 |si n 45 | c os , | ,111 4 ( )2n C Et     22 1( 0 , , 0 ) , ( , 0 , ) , ( 1 , , 0 ) .2 2 2B E B A t C E   3 .2t 解 得122 6 2 3( 0 , 2 , ) , ( 2 , 0 , ) .33nn   12c os ,42103104 203.nn例 3 . 已知在四边形 ABCD 中， AD // BC ， AD = AB =1 ，45 , 90B C D B A D    176。 ，将△ ABD 沿对角线 BD 折起到如图所示 P B D 的位置，使平面PBD B C D 平 面. ⑴ 求证： C D PB ； ⑵ 求二面角 P B C D 的余弦值大小； ⑶ 求点 D 到平面 P B C 的距离 . 11 2 22例 3 . 已知在四边形 ABCD 中， AD // BC ， AD = AB =1 ，45 , 90B C D B A D    176。 ，将△ ABD 沿对角线 BD 折起到如图所示 P B D 的位置，使平面 PBD B C D 平 面 . ⑴ 求证： C D PB ； 解 :⑴ 90 , ,B A D A D A B  45A DB A B D      ./ / , 45A D B C B C D   ,9 0 , .BD C BD D C   176。 即P BD BCD又 平 面 平 面 ,.C D PBD 平 面,PB PBD 平 面.C D P B,CD BC D 平 面11 2 2211 2 22⑵ 求二面角 PBCD的余弦值大小； EF⑵ 过 P 作 P E B D E 于 ， PBD B C D由 平 面 平 面 得P E BC D 平 面 ， 过 E 作 E F B C 于 F , 连接 PF , 由三垂线定理可证 PF B C . ∴ P F E 为二面角 P B C D 的平面角 . 1,P B P D211 R t 9 0222P E E F B E P E F P E F      △, ,在 中 ,.t a n 2 ,PEP F E EF   3.3所以二面角 PBCD的余弦值大小是 3c o s ,3P F E⑶ 设 D 到平面 P BC 的距离为 h ，由 1PB  可求出 2BD D C ， BC =2 , 3PC  . , , ,P B P D P B CD P D CD D   ⑶ 求点 D到平面 PBC的距离 . 11 2 221 1 1 1 ,3 2 3 2P B P D D C P B P C h         6,.3P D D CP D D C P C h hPC      ,C P B D D P B CVV,PB PCD 平 面.P C P CD P B P C  平 面解 : 90 ,B A D A D A B  , 45 / / , 45A D B A B D A D B C B C D 。