20xx届高考数学一轮复习讲义：86立体几何中的向量方法(ⅰ)证明平行与垂直

20xx届高考数学一轮复习讲义：86立体几何中的向量方法(ⅰ)证明平行与垂直内容摘要：

，－ 2 x ＋ y ＝ 0 ， 令 x ＝ 1 ，则 y ＝ 2 ， z ＝－ 3 ，故 n ＝ ( 1,2 ，－ 3 ) 为平面 A 1 BD 的一个法向量，而 AB 1→＝ ( 1,2 ，－ 3 ) ， 所以 AB 1→＝ n ，所以 AB 1→∥ n ，故 AB 1 ⊥ 平面 A 1 BD . 例 3 如图，四棱锥 P — ABCD 中， PA ⊥ 平 面 ABCD ， PB 与底面所成的角为 45176。 ， 底面 A BC D 为直角梯形， ∠ AB C ＝ ∠ BAD ＝ 90176。 ， PA ＝ BC ＝12AD ＝ 1. ( 1) 求证：平面 P AC ⊥ 平面 PCD ； ( 2) 在棱 PD 上是否存在一点 E ，使 CE ∥ 平面 P AB。 若存在，请确定 E 点的位置；若不存在，请说明理由． 利用空间向量解决探索 性问题 ( 1) 可以用几何法，也可以用向量法． ( 2) 利用向量法一般比 较方便． ( 1) 证明 ∵ PA ⊥ 面 AB CD ， ∴ PB 与平面 ABCD 所成的角为 ∠ PB A ＝ 45176。 . ∴ AB ＝ 1 ，由 ∠ AB C ＝ ∠ BAD ＝ 90176。 ， 易得 CD ＝ AC ＝ 2 ， 由勾股定理逆定理得 AC ⊥ CD . 又 ∵ PA ⊥ CD ， PA ∩ AC ＝ A ， ∴ CD ⊥ 平面 P AC ， 又 CD ⊂ 平面 PCD ， ∴ 平面 P A C ⊥ 平面 PC D . ( 2) 解 分别以 AB 、 AD 、 AP 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建 立空间直角坐标系． ∴ P ( 0,0,1 ) ， C ( 1,1,0 ) ， D ( 0,2,0 ) ，设 E (0 ， y ， z ) ， 则 PE→＝ (0 ， y ， z － 1) ， PD→＝ ( 0,2 ，－ 1) ． ∵ PE→∥ PD→， ∴ y ( － 1) － 2( z － 1) ＝ 0 ① ∵ AD→＝ ( 0,2,0 ) 是平面 P AB 的法向量， 又 CE→＝ ( － 1 ， y － 1 ， z ) ， CE ∥ 平面 P AB . ∴ CE→⊥ AD→. ∴ ( － 1 ， y － 1 ， z ) ( 0,2,0 ) ＝ 0 ， ∴ y ＝ 1. 将 y ＝ 1 代入 ① ，得 z ＝12 . ∴ E 是 PD 的中点， ∴ 存在 E 点使 CE ∥ 平面 P A B ，此时 E 为 PD 的中点． 对于探索性问题，一般先假设存在，设出空间点坐标，转化为代数方程是否有解问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在． 探究提高如图所示，在三棱锥 A — BCD 中，侧面 ABD 、 ACD 是全等的直角三角形， AD 是公共的斜边， 且 AD ＝ 3 ， BD ＝ CD ＝ 1 ，另一个侧面 ABC 是 正三角形． ( 1) 求证： AD ⊥ BC ； ( 2) 求二面角 B — AC — D 的余弦值； ( 3) 在线段 AC 上是否存在一点 E ，使 ED 与平面 BCD 成 30176。 角。 若存在，确定点 E 的位置；若不存在，说明理由． 变式训练 3因此 BC→ DA→ ＝－ 1 ＋ 1 ＝ 0 ，所以 AD ⊥ BC . ( 1) 证明 作 AH ⊥ 平面 BCD 于 H ，连结 BH 、 CH 、 DH ，则四边形 B HC D 是正方形， 且 AH ＝ 1 ，以 D 为原点，以 DB 所在直线为 x 轴， DC 所在直线为 y 轴，以垂直于 DB 的 直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图 所示，则 B ( 1,0,0) ， C ( 0 ,1,0) ， A ( 1,1,1) ， 所以 BC→＝ ( － 1,1,0) ， DA→＝ ( 1,1,1) ， ( 2) 解 设平面 ABC 的法向量为 n 1 ＝ ( x ， y ， z ) ， 则由 n 1 ⊥ BC→ 知： n 1 BC→ ＝－ x ＋ y ＝ 0 ， 同理由 n1 ⊥ AC→ 知： n1 AC→ ＝－ x － z ＝ 0 ， 可取 n 1 ＝ ( 1,1 ，－ 1) ， 同理，可求得平面 ACD 的一个法向量为 n 1 ＝ ( 1,0 ，－ 1) ． ∴ c os 〈 n 1 ， n 2 〉＝n 1 n 2| n 1 || n 2 |＝1 ＋ 0 ＋ 13 2 ＝63 . 即二面角 B — AC — D 的余弦值为63 . ( 3) 解 设 E ( x ， y ， z ) 是线段 AC 上一点，则 x ＝ z 0 ， y ＝ 1 ，所以DE→＝ ( x, 1 ， x ) ，设平面 BC D 的一个法向量为 n ＝ ( 0,0,1) ，要使 ED与平面 BCD 成 30176。 角，由图可知 DE→与 n 的夹角为 60176。 ， 所以 c os 〈 DE→， n 〉＝DE→ n| DE→|| n |＝ c os 60176。 ＝12， 所以 2 x ＝ 1 ＋ 2 x2，解得 x ＝22，所以 CE ＝ 2 x ＝ 1. 故线段 AC 上存在一点 E ，使 ED 与平面 BCD 成 30176。 角，且当 CE＝ 1 时， ED 与平面 BC D 成 30176。 角． ( 14 分 ) 已知正方体 A B CD — A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 2 ， E 、 F 分别是BB 1 、 DD 1 的中点．求证： ( 1) FC 1 ∥ 平面 ADE ； ( 2) 平面 ADE ∥ 平面 B 1 C 1 F . 答题规范 利用空间向量证明平行、垂直要规范 学生解答展示 建立空间直角坐标系， ( 1) 求证线面平行转化为求证直线的方 向向量与平面法向量垂直． ( 2) 面面平行转化为法向量平行进 行求证． 审题视角规范解答 证明 ( 1) 如图所示，建立空间直角坐标系 D — xy z ， 则有 D ( 0,0,0) 、 A ( 2,0,0) 、 C ( 0,2,0) 、 C 1 ( 0,2,2) 、 E ( 2,2,1) 、 F ( 0,0,1) ，所以 FC 1→＝ ( 0,2,1) ， DA→＝ ( 2,0,0) ， AE→＝ ( 0,2,1。