不等式的证明方法-毕业论文

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不等式的证明方法-毕业论文 江西师范大学 09 届学士学位毕业论文江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文不等式的证明方法to 名： 学 号： 200907010059 学 院： 数学与信息科学学院 专 业： 数学与应用数学 指导老师： 完成时间： 2013 年 3 月 9 日 江西师范大学 09 届学士学位毕业论文1不等式的证明方法*【摘要】不等式证明在数学中有着举足轻重的作用和地位，是进行计算、推理、数学思想方法渗透的重要题材，是数学内容的重要组成部分，在不等式的证明过程中需要用到诸多的数学思想，结合了许多重要的数学内容。 在本论文中，商法、分析法、综合法、数学归纳法、反证法、放缩法、换元法、判别式法、函数法、勒公式、拉格朗日函数、以及一些著名不等式，如：均值不等式、柯西不等式、詹森不等式、利于我们进一步的探讨和研究不等式的证明. 通过学习这些证明方法，可以帮助我们解决一些实际问题，培养逻辑推理论证能力和抽象思维的能力以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯。 【关键词】不等式 比较法 数学归纳法 函数江西师范大学 09 届学士学位毕业论文2to *【in is of is to is of of in to be in n I in in to so in so us of we to at of 9 届学士学位毕业论文3目录1 引言 .等式证明的基本方法 . 比较法 .差比较法 .商比较法 . 分析法 . 综合法 2. 反证法 .元法 .角代换法 .量换元法 .缩法 .添舍”放缩 .用基本不等式 .式放缩 . 迭合法 . 数学归纳法 8. 构造解析几何模型证明不等式 .0 判别式法 9.1 标准化法 10.2 分解法 .用函数证明不等式 . 利用函数单调性 . 利用函数的极值 . 利用函数的凹凸性 . 利用中值定理 .用拉格朗日中值定理 .用柯西中值定理 . 利用泰勒公式 .结 .24江西师范大学 09 届学士学位毕业论文41 引言在数学的学习过程中，不等式证明是一个非常重要的内容，然不等关系要比相等关系更加广泛的存在于现实的世界里，7 世纪以后，不等式的理论才逐渐发展起来，许多的内容都十分的有用，如：不等式的性质、不等式的证明方法和不等式的解法. 在本文中，我们就不一一说明了，而主要的介绍一些证明不等式的常用方法、化一下我们对不等式证明方法的认识，较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小比较的最直接的方法，比较法可分为作差比较法和作商比较法。 差比较法在比较两个实数 和 的大小时，可借助 的符号来判断，若 ，若 ，则。 步骤一般为：作差变形判断（正号、负号、零）。 变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、应用已知定理、公式等。 例 已知 求证：。 1423(1)(1)证明 作差 3 24()3 )2(342 34221)(由 知， 0(1)又因为二次三项式 的首项系数20判别式 3恒成立，21a022(1)a43()(江西师范大学 09 届学士学位毕业论文5用作差比较法能够较直接的比较两个数的大小。 商比较法作商比较法依据不等式的运算性质：一般在 均为正数时，若 ,则1 ，则 ，来判断其大小。 其步骤为：作商变形判断于 1 或小于 1）。 例 设 ， 求证：。 0析 对于含幂指数类的不等式用作商比较法。 证明 因为 所以 , 1 式均为单项式且均为正式时，用作商比较法。 例 设 ， ， 求证：。 0分析 由于 ， ，所以求证的不等式两边的值都大于零，可采用作差比较法或作商比较法。 本题只给出作商法的证明过程，作商法有。 1证明 作商有2221由 知， 0,a0所以 成立。 2析法从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立，这种方法叫做分析法。 江西师范大学 09 届学士学位毕业论文6例 3：求证 627证明： 90,8为了证明原不等式成立，只需证明22(96)(87)即 ，152456只需证明 ,成立6原不等式成立运用分析法时，需积累一些解题经验，总结一些常规思路，这样可以克服无目的的乱碰，从而加强针对性，较快地探明解题途。 合法 2证题时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论， 已知： ， 同号，求证： 因为 ， 同号，所以 ， ，0则 ,2 反证法从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的，这种证明方法叫做反证法。 3反证法证明一个命题的思路及步骤：（1） 假定命题的结论不成立；（2） 进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾;（3） 由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错江西师范大学 09 届学士学位毕业论文7误的;（4） 肯定原来命题的结论是正确的。 例：实数 满足 求证： 中至少有一个负1,。 证明：假设 都为非负数，,由 1,01所以 盾，所以 至少一个为负数。 1 ，则有。 232分析 命题知，已知 ，证明 成立，采用反证法。 3证明 假设 成立，则有即有 3236182)1(因此 23盾，所以，假设不成立，故原不等式成立。 例 已知 ， ， ，求证： ， ，4 1010c)1(至少有一个不大于。 (4分析 本题从正面考虑情况较多，可考虑选用反证法， “小于等于”的反面是“大于” “至 少有一个”的反面是“一个也没有”。 证明 假设 ， ， 都大于 ,(c)(a)1(14因为 都是小于的正数，从而 ， ，, 0 ()1()242江西师范大学 09 届学士学位毕业论文8同理 214)1(2)1( )(显然矛盾32故 ， ， 至少有一个不大于。 (c)(a)1(14由例不难看出用反证法证明不等式的一般步骤是：（1）否定结论； （2）推理论证； （3）导出矛盾； （4）肯定结论。 元法换元法在不等式的证明中很常见的方，通过对不等式引入一个或者多个未知量（或变量） ，使原来的未知量（或变量）变换成新的未知量（或变量） ，从而更容易达到证明原有不等式的目的。 常见的换元法主要有三角换元法和增量换元法。 角代换法三角代换法多用于条件不等式证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都用同一个参数表示。 此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，根据具体问题将复杂的代数问题转化为三角问题。 例 6 已知： ， ，求证：12设 ，则 ；设 ，则以 )(已知 ， ，证明：。 10,21分析 由 ，联想同角三角函数间的基本关系，设 ，)(x 2x，即可。 2,0证明 设 ， ，则,0(江西师范大学 09 届学士学位毕业论文9=222 )= 22三角代换法,多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示。 此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题根据具体问题，实施的三角代换方法有：量换元法在有对称式(任意交换两个字母，代数式不变)或给定字母顺序(如)的不等式时，考虑用增量法换元法，其目的是通过换元达到减元，0a繁为简。 5例 ，求证：。 1814令 ， ，则44)2()(当且仅当 ，即 时，等号成立。 0m2量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式，可引入一个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法。 若题中有 ，一般采用增量换元法：可以用1进行换元，如例 缩法在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大） ，或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母） ，从而达到证明江西师范大学 09 届学士学位毕业论文10的目的。 运用放缩法证明不等式时要把握好“放缩”的尺度。 添舍”放缩通过对不等式的一边进行添项或减项，即不等式中，通过传递性，添加或舍去某项，使得不等式的和（或积）变大或变小，以达到解题目的。 例 知 不全为零，求证：,（ 23222证明 因为 43222 ）（）（同理 222 ）（ 用基本不等式基本不等式公式：（当且仅当 时取“ ”） ；2,()当且仅当 时取“ ”）。 推广：（当且仅当 = 时取“ ”） ；3ab ， 为正数时， （当且仅当12 时取“ ”）。 2a把欲证不等式变形后再放缩，具体根据所证不等式的结构特征来选取所需不等式的具体形式。 6例 知 ，证明：不等式 对任意正整数5451都成立。 m，江西师范大学 09 届学士学位毕业论文11证明 要证 51只要证 12因为 ，54(54)520()16n故只要证 ()120()16即只要证 0372因为 258(1529)2037m所以命题得证。 本题通过化简整理之后，再利用基本不等式，由 放大，最终得到要证的不等式。 例 若 ，且 ，求证：。 7、 、 19析 由 ，联想基本不等式成立的条件，把 代换、 、 a中的 “1”，1、要证不等式变为 ，即9。 亦即6,发现 与 互为倒数，已具备基本不等式()()()明 因为 R、 、利用均值不等式 2,2,6 9西师范大学 09 届学士学位毕业论文12 19两端的结构、数字具有如下特征：（1） 次数相等； （2） 项数相等或不等式右侧系数与左侧项数相等；（3） 一边为和一边为积。 当要证的不等式具有上述特征时，考虑用基本不等式证明。 式放缩一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。 例 已知 为三角形的三边，求证：,证明 由于 为正数，, ，c所以 1 三角形的边，故 ，则 为真分数，则, bc2同理 ，22故 2 综合得 成立。 21江西师范大学 09 届学士学位毕业论文13例 已知 ，求*Nn证明 因为 成立，）（11 (2)3(2)(32 n所以 = 有 成立。 此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征，先将分式裂项，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和。 若分子, 分母同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量。 分式的放缩对于分子分母均取正值的分式，如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。 用放缩法证明数列不等式，关键是要把握一个度，如果放得过大或缩得过小，就会导致解决失败。 放缩方法灵活多样，要能想到一个恰到好处进行放缩的不等式，需要积累一定的不等式知识，同时要求我们具有相当的数学思维能力和一定的解题智慧。 合法把所要证明的结论先分解为几个较简单部分，分别证明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性质， 已知： ， ，求证: 12211221明： 因为 ， ，221n 221n所以 ，212柯西不等式 ,122122121 江西师范大学 09 学归纳法 8对于含有 的不等式，当 取第一个值时不等式成立，如果使不等)(Nn成立的假设下，还能证明不等式在 时也成立，那么k 1 已知： ， ， ，求证： .11）当 时， ，不等式成立；2（2）若 时， 成立，则11 )()( ， 2112 ()即 成立.1根据（1） 、 （2） ， 对于大于 1 的自然数 造解析几何模型证明不等式如果不等式两边可以通过某种方式与图形建立联系，则可根据已知式的结构挖掘出它的几何背景，通过构造解析几何模型，化数为形，利用数学模型的直观性，将不等式表达的抽象数量关系转化为图形加以解决 例 13 设 a0，b0，ab = 1，求证： 212证不等式变形为：2 这可认为是点 A(21)到直线 xy = 0 的距因( ) ( ) = 4，故点12212A 在圆 x y = 4 (x0，y0)上如图所示，C，半径 D，即有：2，所以 22y = 029 别式法 9通过构造一元二次方程，利用关于某一变元的二次三项式有实根时判别式的取值范围，1 设 ，且 ，求证： 121证明 设 ，则得 ，12)(22即 0)1()( ，所以 ， 02即 ，)(14)(22 ，故 21准化法 10形如 的函数，其中 ，且(2121 当 的值之间越接近时， 的值越大21 i ),(21或不变） ；当 时， 取最大值，即1 ),(21 212121 (标准化定理：当 为常数时，有 ，则C, 2 求导得 ，)()( 得 ，即 又由 ,0)(极大值点必在 时取得.)(f ， ，)(9 届学士学位毕业论文16同理，可推广到关于 2 设 为三角形的三内角，求证： 812由标准化定理得，当 时， ， 取最大值 ，21 解法按照一定的法则，把一个数或式分解为几个数或式，使复杂问题转化为简单易解的基本问题，以便分而治之，各个击破，2 ，且 ，求证：21(1321n证明：因为 3)(31 n 142142 所以 )1(33 用函数单调性函数单调性本身就是不等式，此方法的关键是把要证明的不等式分中值定理来证明，其关键是构造一个辅助函数，然后利用公式证明。 分中值定理来证明，其关键是构造一个辅助函数，然后利用公式证明。 例1 证明不等式 则。 f1， >0, 严格递增；0x当 时， 严格递减。 处连续，则当 时 从而得证。 0x，0用函数的极值利用极值证明不等式的思路：由待证不等式建立函数，通过导数求出极值并判断是极大值还是极小值，再求出极大值或极小值，从而证明不等式。 例 14 设 ，求证：129 届学士学位毕业论文17证明： 81243 ， 438)(， 1x 12用函数的凹凸性当所求证的不等式中出现了形如 的式子时，,我们可以考虑根据函数凹凸性的一些性质来证明。 凹凸函数的原始定义：定义1设 在区 上续，如果对 上任意两点 恒有21称 在 上是凹函数。 在区间 ，上连续，如果对 上任意两点 恒有,2121称 在 上是凸函数。 函数 为定义在 上的凹函数，则对于中任意三点 ，恒有 21x成立。 231312 定理2 设函数为定 义在 上的凹函数，若 ， ,且,成立。 .且在证明不等式中有着广泛的应用，下面通过例题作一筒单说明。 江西师范大学 09 届学士学位毕业论文18例16 己知： 求证：。 ，2,032证明：设函数。 则。 06",3 数 是凹函数。 ,设 则,2121a 而 333 故113 用中值定理微分中值定理将函数与导数有机地联系起来，如果所求证的不等式经过简单变形后，与微分中值定理的结构有相似性，就可以考虑利用微分中值定理来证明，其关键是构造一个辅助函数，然后利用公式证明。 用拉格朗日中值定理用拉格朗日中值定理证明不等式目标在于凑出形式类似于拉格朗日中值定理的式子，再寻找机会应用进行证明。 拉格朗日中值定理 ：1设 满足：()）在闭区间 上连续；,）在开区间 内可导，则有一点 使得,)()(例 若 ，即 ，证：1p)()(11 证明： 令 ，显然在 区间上，根据拉格朗日中值定理有(,= ，1)(f),(江西师范大学 09 届学士学位毕业论文19因为 ， 有0111 )()(11 例 证明不等式： ，。 x0证明： 令 ，0则在 上应用拉格朗日中值定理得到2,)(有1 ( )2x0 不能直接应用拉格朗日中值定理，必须先构造了函数，因此在利用其证明不等式时，如何构造辅助函数，是证明的关键。 用柯西中值定理柯西中值定理定义:， 满足以下几个条件：() 在 上都连续；,) 在 上都可导；()(3) 和 不同时为零；xfg(4) )(，则存在 使得 (,)西师范大学 09 届学士学位毕业论文20)()( 柯 西 中 值 定 理 的 形 式 ， 可 以 看 到 两 个 函 数 式 的 比 值 ， 在 移 动 条 件 下 可 以化 成 两 个 函 数 的 导 数 的 比 值 ， 我 们 将 以 微 分 中 值 定 理 为 理 论 依 据 ， 通 过 求 导 ，建 立 一 个 简 便 而 有 效 的 方 法 来 证 明 不 等 式 成 立。 12例 ， ，求证：0证明 令 ，(由题设条件可知， ( )上满足柯西中值定理 ,)(,y0)()(则 ,)0 由于 ， 则 20i故 l)c(本题采用了柯西中值定理证明出了不等式，不等式证明的方法多样，灵活性强，要综合题干选择适合的方法，才能快捷、简便的证明不等式。 35 利用泰勒公式当所涉及命题中出现二阶或更高阶导数时，我们可以考虑使用泰勒公式证明，其关键是选择恰当的特殊点展开。 例1 设 在 上的二阶导数连续，,10，并且当 时，0f 1,09 届学士学位毕业论文21求证： 1,02明 因为 在O，1上有二阶连续以 可以展开为一阶泰勒公式其中 在 与 之间。