1674数列在日常经济生活中的应用

1674数列在日常经济生活中的应用内容摘要：

元 ． 首页 末页 上一页 下一页 学习目标 生活中的数学 温故知新 要点探究 典例探究 演练广场 递推关系型数列应用题 【例 3 】 某国采用养老储备金制度 ． 公民在就业的第一年就交纳养老储备金 ， 数目为a 1 ， 以后每年交纳的数目均比上一年增加 d ( d 0 ) ， 因此 ， 历年所交纳的储备金数目 a 1 ， a 2 ， „是一个公差为 d 的等差数列 ， 与此同时 ， 国家给予优惠的计息政策 ， 不仅采用固定利率 ， 而且计算复利 ． 这就是说 ， 如果固定年利率为 r ( r 0 ) ， 那么 ， 在第 n 年末 ， 第一年所交纳的储备金就变为 a 1 ( 1 ＋ r )n － 1， 第二年所交纳的储备金就变为 a 2 ( 1 ＋ r )n － 2， „ ， 以 T n 表示到第 n 年末所累计的储备金总额 ． ( 1 ) 写出 T n 与 T n － 1 ( n ≥ 2 ) 的递推关系式 ； ( 2 ) 求证 ： T n ＝ A n ＋ B n ， 其中 {A n } 是一个等比数列 ， {B n } 是一个等差数列 ． 思路点拨： T n 表示 T n － 1 再储存一年另外再交一年储备金 ． 首页 末页 上一页 下一页 学习目标 生活中的数学 温故知新 要点探究 典例探究 演练广场 ( 1 ) 解： Tn＝ Tn － 1( 1 ＋ r ) ＋ an( n ≥ 2 ， n ∈ N ＋ ) ． ( 2 ) 证明： T1＝ a1， 对 n ≥ 2 反复使用上述关系式 ， 得 Tn＝ Tn － 1( 1 ＋ r ) ＋ an＝ Tn － 2( 1 ＋ r )2＋ an － 1( 1 ＋ r ) ＋ an ＝ „ ＝ a1( 1 ＋ r )n － 1＋ a2( 1 ＋ r )n － 2＋ „ ＋ an － 1( 1 ＋ r ) ＋ an① 在 ① 式两端同乘 1 ＋ r ， 得 ( 1 ＋ r ) Tn＝ a1( 1 ＋ r )n＋ a2( 1 ＋ r )n － 1＋ „ ＋ an － 1( 1 ＋ r )2＋ an( 1 ＋ r ) ② ② － ① ， 得 rTn＝ a1( 1 ＋ r )n＋ d [(1 ＋ r)n － 1＋ (1 ＋ r)n － 2＋ … ＋ (1 ＋ r)] － an＝dr[ ( 1 ＋ r)n－ 1 － r]＋ a1( 1 ＋ r )n－ an， 即 Tn＝a1r ＋ dr2 ( 1 ＋ r )n－drn －a1r ＋ dr2 . 如果记 An＝a1r ＋ dr2 ( 1 ＋ r )n， Bn＝－a1r ＋ dr2 －drn ， 则 Tn＝ An＋ Bn. 其中 {An} 是以a1r ＋ dr2 ( 1 ＋ r ) 为首项 ， 以 1 ＋ r ( r 0 ) 为公比的等比数列 ； {B n } 是以 －a1r ＋ dr2 －dr为首项 ，－dr为公差的等差数列 ． 首页 末页 上一页 下一页 学习目标 生活中的数学 温故知新 要点探究 典例探究 演练广场 正确理解具有递推关系的量的含义，建立递推关系，进而可通过逻辑分析求其通项，也可直接利用递推关系解决问题 ． 首页 末页 上一页 下一页 学习目标 生活中的数学 温故知新 要点探究 典例探究 演练广场 变式训练 31 ： 某企业投资 10 0 0 万元于一个高科技项目 ， 每年可获利 25 % ， 由于企业间竞争激烈 ， 每年年底需要从利润中取出资金 200 万进行科研 、 技术改造与广告投入方能保持原有的利润增长率 ． 问经过多少年后 ， 该项目的资金可达到或超过翻两番 ( 4 倍 ) 的目标。 ( 取lg 2 ＝ 0. 3 ) 解： 设 该项目逐年的项目资金数依次为 a 1 ， a 2 ， a 3 ， „ ， a n . 则由已知得 a n ＋ 1 ＝ a n ( 1 ＋ 25 % ) － 200 ( n ∈ N ＋ ) ， 即 a n ＋ 1 ＝54a n － 200. 令 a n ＋ 1 － x ＝54( a n － x ) ， ∴ a n ＋ 1 ＝54a n －x4. ∴x4＝ 200 ， x ＝ 800. ∴ a n ＋ 1 － 800 ＝54( a n － 800 )( n ∈ N ＋ ) ． 故数列 {a n － 800} 是以 a 1 － 800 为首项 ，54为公比的等比数列 ． 首页 末页 上一页 下一页 学习目标 生活中的数学 温故知新 要点探究 典例探究 演练广场 ∴ a 1 ＝ 1000 ( 1 ＋ 25 % ) － 2 00 ＝ 105 0 ， ∴ a 1 － 800 ＝ 250. ∴ a n － 800 ＝ 25 0 (54)n － 1 ∴ a n ＝ 800 ＋ 25 0 (54)n － 1( n ∈ N ＋ ) ． 由题意知 a n ≥ 4000 ， 即 800 ＋ 250 (54)n － 1≥ 4000 ， ∴ (54)n≥ 16 ， 两边取常用对数得 n l g 54≥ lg 16 ， ∴ n ≥ 12. 故经过 12 年后 ， 该项目资金可以达到或超过翻两番的目标 ． 首页 末页 上一页 下一页 学习目标 生活中的数学 温故知新 要点探究 典例探究 演练广场 【例 1 】 某公司年初有资金 100 万元 ， 经过一年的经营 ， 每年年底增值 50 % ， 且每年年底要从中提取 x 万元作为消费基金 ， 余下的资金投入下一年的运营 ， 5 年后 ( 指第 5 年提取消费基金后 ) 有资金 200 万元 ， 则每年提取的消费基金是多少。 ( 结果保留三位有效数字 ) 解： 法一 ： 第一年年底公司有资金 [ 1 00( 1 ＋ 50% ) － x] 万元 ； 第二年年底公司有资金 [ 100 ( 1 ＋ 50% ) － x] ( 1 ＋ 50% ) － x ＝ 100 ( 1 ＋ 50% )2－ x [ ( 1 ＋ 50 % ) ＋ 1] ( 万元 ) ； 第三年年底公司有资金 { 100 ( 1 ＋ 50 % )2－ x [(1 ＋ 50% ) ＋ 1] } ( 1 ＋ 50% ) － x ＝ 100 ( 1 ＋ 50% )3－ x [ ( 1 ＋ 50 % )2＋ (1 ＋ 50% ) ＋ 1] ( 万元 ) ； „„ 第五年年底公司有资金。