20xx届高考数学一轮复习讲义：82平面的性质、空间两条直线的位置关系

20xx届高考数学一轮复习讲义：82平面的性质、空间两条直线的位置关系内容摘要：

异面直线，且 m 与 BD 所成的角 α ∈0 ，π2. （ 2） 当 α ＝π2 时，这样的直线 m 有且只有一条，当 α ≠π2 时，这样的直线 m 有两条． 例 3 正方体 ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 中， ( 1) 求 AC 与 A 1 D 所成角的大小； ( 2) 若 E 、 F 分别为 AB 、 AD 的中点，求 A 1 C 1 与 EF 所成角 的大小． 异面直线所成的角 ( 1) 平移 A 1 D 到 B 1 C ，找出 AC 与 A 1 D 所成的角，再计算． ( 2) 可证 A 1 C 1 与 EF 垂直． 解 ( 1) 如图所示，连结 B 1 C ，由 A BC D — A 1 B 1 C 1 D 1 是正方体， 易知 A1 D ∥ B 1 C ，从而 B 1 C 与 AC 所成的角就是 AC 与 A 1 D 所成的角． ∵ AB1 ＝ AC ＝ B 1 C ， ∴∠ B 1 CA ＝ 60176。 . 即 A 1 D 与 AC 所成的角为 60176。 . ( 2) 如图所示，连结 AC 、 BD ，在正方体 AB C D — A 1 B 1 C 1 D 1 中， AC ⊥ BD ， AC ∥ A 1 C 1 ， ∵ E 、 F 分别为 AB 、 AD 的中点， ∴ EF ∥ BD ， ∴ EF ⊥ AC . ∴ EF ⊥ A 1 C 1 . 即 A 1 C 1 与 EF 所成的角为 90176。 . 求异面直线所成的角常采用 “ 平移线段法 ” ，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点 ( 线段的端点或中点 ) 作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行 . 探究提高如图所示，在四棱锥 P — ABCD 中，底面 是边长为 2 的菱形， ∠ DAB ＝ 60176。 ，对角 线 AC 与 BD 交于点 O ， PO ⊥ 平面 A BC D ， PB 与平面 A BC D 所成的角为 60176。 . ( 1) 求四棱锥的体积； ( 2) 若 E 是 PB 的中点，求异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值． 变式训练 3 ( 1) 按锥体的体积公式求解； ( 2) 取 AB 的中点 F ，平移 PA 至 EF ，利用余弦定理解 △ D EF . 解 ( 1) 在四棱锥 P — A BC D 中， ∵ PO ⊥ 平面 ABCD ， ∴∠ PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角， ∴∠ PBO ＝ 60176。 ， 在 Rt △ AOB 中， BO ＝ AB sin 30176。 ＝ 1 ， ∵ PO ⊥ OB ， ∴ PO ＝ BO t an 60176。 ＝ 3 ， ∵ 底面菱形的面积 S ＝12 2 3 2 ＝ 2 3 . ∴ 四棱锥 P — ABCD 的体积 V P — ABCD ＝13 2 3 3 ＝ 2. ( 2) 取 AB 的中点 F ，连结 EF ， DF ， 如图所示． ∵ E 为 PB 中点， ∴ EF ∥ PA ， ∴∠ DE F 为异面直线 DE 与 PA 所成的角 ( 或其补角 ) ． 在 Rt △ AO B 中， AO ＝ 3 ＝ OP ， ∴ 在 Rt △ PO A 中， PA ＝ 6 ， ∴ EF ＝62 . 在正三角形 A B D 和正三角形 PDB 中， DF ＝ DE ＝ 3 ， 由余弦定理得 c os ∠ DEF ＝DE2＋ EF2－ DF22 DE EF ＝( 3 )2＋。