4第四单元三角形

4第四单元三角形内容摘要：

(2)如图④，在△ ABC与△ DEF中，已知 ∠ A=∠ D， ∠ C=∠ F， ∠ B=∠ E，但△ ABC与△ DEF不全等． 图③ 图④ 返回目录 第四单元 三角形 39 A A SA S AA A SA S AS A SA A SSSSHLS A S找任一 边找 夹角已知角的找边 的另一角找边角的 另找边的边为 角找任一角边为 角的 对边和一角已知一 边边找 另角找找 夹边已知等全形角三证边两对边夹一夹邻一直角两返回目录 第四单元 三角形 40 温馨提示 ◆ 全等三角形的应用主要有：证明 线段、角相等；求线段的长度、角的度数、三角形面积；测量不可直接测量的距离等 . 返回目录 第四单元 三角形 41 类型 全等三角形的判定（重点） 【思路分析】 本题需先找出全等的三角形，再利用判定定理给予证明．其中，除 △ ADE≌ △ ABC外，还有三对三角形全等．证明时注意已证明过的结论，可作为未证明的条件加以利用． 例（’ 13仙桃） 如图，已知△ ABC≌ △ ADE， AB与ED交于点 M， BC与 ED， AD分别交于点 F， N．请写出图中两对全等三角形（△ ABC≌ △ ADE除外），并选择其中的一对加以证明． 返回目录 第四单元 三角形 42 解： △ AEM≌ △ ACN，△ BMF≌ △ DNF，△ ABN≌ △ ADM．（三对任写两对即可） (1)选择△ AEM≌ △ ACN，理由如下： ∵ △ ADE≌ △ ABC， ∴ AE=AC， ∠ E=∠ C， ∠ EAD=∠ CAB， ∴∠ EAM=∠ CAN， 在△ AEM和△ ACN中， ∵ ∴ △ AEM≌ △ CAN（ SAS） . ,CA NEA MACAECE返回目录 第四单元 三角形 43 (2)选择△ ABN≌ △ ADM．，理由如下： ∵ △ ADE≌ △ ABC， ∴ AB=AD， ∠ B=∠ D， ∵∠ BAN=∠ DAM， ∴ △ ABN≌ △ ADM（ SAS）． (3)选择△ BMF≌ △ DNF，理由如下： ∵ △ ABN≌ △ ADM， ∴ AM=AN， ∴ BM=DN， ∵∠ B=∠ D， ∠ BFM=∠ DFN， ∴ △ BMF≌ △ DNF（ AAS）． 返回目录 第四单元 三角形 44 【点评与拓展】 (1)要证三角形全等，至少要有一组 “边”的条件，所以一般情况下，我们一般先找对应边； (2)要证直角三角形全等，通常先考虑直角边、斜边定理 （ HL）。 (3)在有一组对应边相等的前提下，我们通常找任意两组对应角相等即可；在有两组对应边分别相等的前提下，可以求第三组对应边相等，或者求两组对应边的夹角相等，注意必须是夹角。 若有三组对应边分别相等 ,则可以直接根据边边边（ SSS） 求解. 返回目录 第四单元 三角形 45 变式题（’ 12贵阳） 如图，已知点 A、 D、 C、 F在同一直线上， AB=DE， BC=EF，要使△ ABC≌ △ DEF,还需要添加一个条件是（ ） A． ∠ BCA=∠ F B． ∠ B=∠ E C． BC∥ EF D． ∠ A=∠ EDF 【解析】 ∵ AB=DE， BC=EF， 若要使 △ ABC≌ △ DEF， 则应有 ∠ B=∠ E． B 变式题图 返回目录 第四单元 三角形 46 第 4课时 特殊三角形 中考考点清单 考点 1 等腰三角形 考点 2 等边三角形 考点 3 直角三角形 常考类型剖析 类型一 等腰三角形 类型二 直角三角形 第四单元 三角形 47 (1)等腰三角形是 ① 图形，对称轴是顶角平分线所在直线； (2)等腰三角形的顶角平分线也是底边上的中线和底边上的高（“三线合一”）； (3)等腰三角形的两底角 ② ． (1)有两边相等的三角形是等腰三角形； (2)有两个角相等的三角形是等腰三角形． 轴对称 相等 返回目录 考点 1 等腰三角形 第四单元 三角形 48 考点 2 等边三角形 (1)有三条边相等的三角形是等边三角形； (2)有两个角等于 ④ 的三角形是等边三角形； (3)有一个角是 60176。 的 ⑤ 三角形是等边三角形． 60176。 等腰 (1)等边三角形的三个内角均相等且等于 ③ ； (2)等边三角形底边上的中线，底边上的高线和所对顶角的角平分线互相重合． 60176。 返回目录 第四单元 三角形 49 (1)勾股定理 直角三角形两直角边 a， b的平方和，等于斜边 c的平方，即 a2+b2=c2． (2)勾股定理的逆定理 如果三角形三边长为 a， b， c，且满足下面的关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．如图，在△ ABC中，已知 ∠ A， ∠ B， ∠ C的对边分别为 a， b， c,若△ ABC为直角三角形且 ∠ C=90176。 ，则 a2+b2=c2,若 a2+b2=c2，则△ ABC为直角三角形，且 ∠ C=90176。 ． 返回目录 考点 3 直角三角形 第四单元 三角形 50 性质 (1)两锐角之和等于 ⑥ ； (2)斜边上的中线等于斜边的 ⑦ ； (3)30176。 角所对的直角边等于斜边的 ⑧ ； (4)勾股定理，若直角三角形的两直角边分别为 a、b，斜边为 c，则有 a2+b2=c2； (5)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 ⑨ ； (6)直角三角形的面积等于两直角边乘积的 ⑩ _ 判定 (1)有一个角为 90176。 的三角形是直角三角形； (2)利用勾股定理的逆定理进行判定 90176。 一半 30176。 一半 一半 返回目录 第四单元 三角形 51 类型一 等腰三角形的性质与判定（重点） 【解析】 ∵ AB=AC， AD平分∠ BAC， BC=8， ∴ AD⊥ BC， CD=BD= BC=４， ∵ 点 E为 AC的中点 ， ∴ DE=CE= AC=5， ∴ △ CDE的周长 =CD+DE+CE= 4+5+5=14． 例１（’ 13枣庄） 如图，△ ABC中， AB=AC=10，BC=8， AD平分 ∠ BAC交 BC于点 D，点 E为 AC的中点 ,连接 DE，则△ CDE的周长为（ ） A． 20 B． 12 C． 14 D． 13 例 1题图 2121C 返回目录 第四单元 三角形 52 【点评与拓展】 本题考查等腰三角形的“三线合一”及三角形的中位线性质，已知等腰三角形“三线”中的任一条时（顶角平分线或底边上的中线或底边上的高），常需要运用“三线合一”的性质；若已知图形中两个或两个以上的“中点”时，常注意运用三角形中位线的性质 . 返回目录 第四单元 三角形 53 变式题 1（’ 14原创） 已知，如图，在△ ABC中， AD平分 ∠ BAC，且△ ABD与△ ADC的面 积相等，求证 :△ ABC是等腰三角形． 解： 过 D作 DE⊥ AB于 E， DF⊥ AC于 F． ∵ AD平分 ∠ BAC， ∴ DE=DF． ∵ S△ ABD = AB DE， S△ ADC= AC DF， 又 ∵ △ ABD与△ ADC面积相等， ∴ AB=AC，即△ ABC是等腰三角形． 变式题 1图 2121变式题 1解图 返回目录 第四单元 三角形 54 类型二 直角三角形的相关计算（重点） 【解析】 在 Rt△ ABC中 ， AC=6， BC=8， ∴ AB= ， D是 AB边上的中点，根据直 角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半可得 CD= AB= 10=5. 例 2题图 例 2（’ 14原创） 如图，在 Rt△ ABC中， ∠ ACB=90176。 , AC=6， BC=8， D是 AB上的中点，连接 CD，则 CD的长是（ ） A． 20 B． 10 C． 5 D． C 25211086 2222  BCAC21返回目录 第四单元 三角形 55 【点评与拓展】 本题考查了勾股定理、直角三角形的性质．在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，题目的综合性很好，且难度不大，解决有关直角三角形的问题时，熟练掌握勾股定理及直角三角形的性质是解题的关键。