20xx届高考数学一轮复习讲义：83直线、平面平行的判定及其性质

20xx届高考数学一轮复习讲义：83直线、平面平行的判定及其性质内容摘要：

线线平行 ” 、 “ 线面平行 ” 、 “ 面面平行 ” 的相互 转化． 探究提高如图，在三棱柱 ABC — A 1 B 1 C 1 中， E ， F ， G ， H 分别是 AB ， AC ， A 1 B 1 ， A 1 C 1 的中 点，求证： ( 1) B ， C ， H ， G 四点共面； ( 2) 平面 EF A 1 ∥ 平面 B CH G . 变式训练 2证明 ( 1) ∵ GH 是 △ A 1 B 1 C 1 的中位线， ∴ GH ∥ B 1 C 1 . 又 ∵ B 1 C 1 ∥ BC ， ∴ GH ∥ BC ， ∴ B ， C ， H ， G 四点共面． ( 2) ∵ E 、 F 分别为 AB 、 AC 的中点， ∴ EF ∥ BC ， ∵ EF ⊄ 平面 B CHG ， BC ⊂ 平面 B CHG ， ∴ EF ∥ 平面 B CHG . ∵ A 1 G 綊 EB ， ∴ 四边形 A 1 EBG 是平行四边形， ∴ A 1 E ∥ GB . ∵ A 1 E ⊄ 平面 BC HG ， GB ⊂ 平面 B CHG . ∴ A 1 E ∥ 平面 BC HG . ∵ A 1 E ∩ EF ＝ E ， ∴ 平面 EF A 1 ∥ 平面 B CHG . 例 3 如图所示，平面 α ∥ 平面 β ，点 A ∈ α ， C ∈ α ，点 B ∈ β ， D ∈ β ，点 E 、 F 分别在线段 AB 、 CD 上，且 AE ∶ EB ＝ CF ∶ FD . 求证： EF ∥ β ， EF ∥ α . 注意讨论 AB 、 CD 共面和 AB 、 CD 异面两种情况，要分别进 行证明． 线面、面面平行的综合应用 证明 ① 当 AB ， CD 在同一平面内时， 由 α ∥ β ， α ∩ 平面 AB D C ＝ AC ， β ∩ 平面 AB D C ＝ BD ， ∴ AC ∥ BD ， ∵ AE ∶ EB ＝ CF ∶ FD ， ∴ EF ∥ BD ， 又 EF ⊄ β ， BD ⊂ β ， ∴ EF ∥ β . ② 当 AB 与 CD 异面时， 设平面 ACD ∩ β ＝ DH ，且 DH ＝ AC . ∵ α ∥ β ， α ∩ 平面 AC D H ＝ AC ， ∴ AC ∥ DH ， ∴ 四边形 AC D H 是平行四边形． 在 AH 上取一点 G ，使 AG ∶ GH ＝ CF ∶ FD ， 又 ∵ AE ∶ EB ＝ CF ∶ FD ， ∴ GF ∥ HD ， EG ∥ BH ， 又 EG ∩ GF ＝ G ， ∴ 平面 EFG ∥ 平面 β . ∵ EF ⊂ 平面 E FG ， ∴ EF ∥ β . 综上， EF ∥ β . ∵ α ∥ β ， EF ∥ β 且 EF ⊄ α ， ∴ EF ∥ α . 面面平行的性质定理的应用问题，往往涉及面面 平行的判定、线面平行的判定与性质的综合应用．解题时，要准确地找到解题的切入点，灵活地运用相关定理来解决问题，注意三种平行关系之间的相互转化． 探究提高如图，在正方体 ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 中， O 为底 面 ABCD 的中心， P 是 DD 1 的中点，设 Q 是 CC 1 上的点，问：当点 Q 在什么位置时，平面 D 1 BQ ∥ 平面 P AO? 变式训练 3解 当 Q 为 CC 1 的中点时，平面 D 1 BQ ∥ 平面 P AO .证明如下： ∵ Q 为 CC 1 的中点， P 为 DD 1 的中点， ∴ QB ∥ PA . ∵ P 、 O 分别为 DD 1 、 DB 的中点， ∴ D 1 B ∥ PO . 又 ∵ D 1 B ⊄ 平面 P AO ， PO ⊂ 平面 P AO ， QB ⊄ 平面 P AO ， PA ⊂ 平面 P AO ， ∴ D 1 B ∥ 平面 P AO ， QB ∥ 平面 P AO ， 又 D 1 B ∩ QB ＝ B ， D 1 B 、 QB ⊂ 平面 D 1 BQ ， ∴ 平面 D 1 BQ ∥ 平面 P A O . ( 16 分 ) 如图所示，在正方体 A BC D — A 1 B 1 C 1 D 1 中，。