20xx届高考数学一轮复习讲义：61数列的概念与简单表示法

20xx届高考数学一轮复习讲义：61数列的概念与简单表示法内容摘要：

1 ＝ 1 ，所以数列 { a n － n } 是首项为 1 ，且公比为 4 的等比数列， ∴ a n － n ＝ ( a 1 － 1 ) 4 n － 1 ， ∴ a n ＝ 4 n － 1 ＋ n . ( 4) 将 a n ＋ 2 － 4 a n ＋ 1 ＋ 3 a n ＝ 0 变形为 a n ＋ 2 － a n ＋ 1 ＝ 3( a n ＋ 1 － a n ) ， 则数列 { a n ＋ 1 － a n } 是以 a 2 － a 1 ＝－ 6 为首项， 3 为公比的等比数列，则 a n ＋ 1 － a n ＝－ 6 3 n － 1 ，利用累加法可得 a n ＝ 11 － 3 n . 例 3 已知各项均为正数的数列 { a n } 的前 n 项和满足 S n 1 ，且 6 S n ＝ ( a n ＋ 1) ( a n ＋ 2) ， n ∈ N * . 求 { a n } 的通项公式． 由 an与 Sn的关系求通项 an 当 n ＝ 1 时，由 a 1 ＝ S 1 ，求 a 1 ； 当 n ≥ 2 时，由 a n ＝ S n － S n － 1 消去 S n ，得 a n ＋ 1 与 a n 的关系．转化成由递推关系求通项． 解 由 a 1 ＝ S 1 ＝16( a 1 ＋ 1) ( a 1 ＋ 2) ， 解得 a 1 ＝ 1 或 a 1 ＝ 2 ， 由已知 a 1 ＝ S 1 1 ， 因此 a 1 ＝ 2. 又由 a n ＋ 1 ＝ S n ＋ 1 － S n ＝16( a n ＋ 1 ＋ 1 )( a n ＋ 1 ＋ 2 ) －16( a n ＋ 1 )( a n ＋ 2 ) ， 得 a n ＋ 1 － a n － 3 ＝ 0 或 a n ＋ 1 ＝－ a n . 因为 a n 0 ，故 a n ＋ 1 ＝－ a n 不成立，舍去． 因此 a n ＋ 1 － a n － 3 ＝ 0. 即 an ＋ 1 － a n ＝ 3 ，从而 { a n } 是公差为 3 ，首项为 2 的等差数列，故{ a n } 的通项为 a n ＝ 3 n － 1. ( 1) 已知 { a n } 的前 n 项和 S n ，求 a n 时应注意以下三点： ① 应重视分类讨论的应用，分 n ＝ 1 和 n ≥ 2 两种情况讨论；特别注意 a n ＝ S n － S n － 1 中需 n ≥ 2. 探究提高② 由 Sn－ Sn － 1＝ an推得的 an，当 n ＝ 1 时， a1也适合 “ an式 ” ，则需统一 “ 合写 ” ． ③ 由 Sn－ Sn － 1＝ an推得的 an，当 n ＝ 1 时， a1不适合 “ an式 ” ，则 数 列 的 通 项 公 式 应 分 段 表 示 ( “ 分写 ” ) ，即 an＝ S1  n ＝ 1  ，Sn－ Sn － 1  n ≥ 2  . ( 2) 利用 Sn与 an的关系求通项是一个重要内容，应注意 Sn与 an间关系的灵活运用． 探究提高设数列 { an} 的前 n 项和为 Sn， a1＝ 1 ， an＝Snn＋ 2 ( n － 1) ( n ∈ N*) ． ( 1) 求证：数列 { an} 为等差数列，并分别写出 an和 Sn关于 n 的表达式； ( 2) 是否存在自然数 n ，使得 S1＋S22＋S33＋ „ ＋Snn－ ( n － 1)2＝ 2 013。 若存在，求出 n 的值；若不存在，请说明理由． 变式训练 3解 ( 1) 由 a n ＝S nn ＋ 2( n － 1) ， 得 S n ＝ na n － 2 n ( n － 1) ( n ∈ N * ) ． 当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ na n － ( n － 1 ) a n － 1 － 4 ( n － 1 ) ， 即 a n － a n － 1 ＝ 4 ， ∴ 数列 { a n } 是以 a 1 ＝ 1 为首项， 4 为公差的等差数 列． 于是， a n ＝ 4 n － 3 ， S n ＝  a 1 ＋ a n  n2 ＝ 2 n 2 － n ( n ∈ N * ) ． ( 2) 由 S n ＝ na n － 2 n ( n － 1) ，得S nn＝ 2 n － 1 ( n ∈ N*) ， ∴ S 1 ＋S 22＋S 33＋ „ ＋S nn－ ( n － 1)2＝ 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ 7 ＋ „ ＋ (2 n － 1) － ( n－ 1)2＝ n2－ ( n － 1)2＝ 2 n － 1. 令 2 n － 1 ＝ 2 013 ，得 n ＝ 1 007 ， 即存在满足条件的自然数 n ＝ 1 007. ( 14 分 ) 已知数列 { a n } ． ( 1) 若 a n ＝ n2－ 5 n ＋ 4 ① 数列中有多少项是负数。 ② n 为何值时， a n 有最小值。 并求出最小值． ( 2) 若 a n ＝ n2＋ kn ＋ 4 且对于 n ∈ N*，都有 a n ＋ 1 a n 成立．求实数 k的取值范围． 思想与方法用函数的思想方法解决数列问题 规范解答 解 ( 1) ① 由 n2－ 5 n ＋ 4 0 ，解得 1 n 4. ∵ n ∈ N*， ∴ n ＝ 2,3. ∴ 数列中有两项是负数，即为 a 2 ， a 3 . [4 分 ] ( 1) 求使 a n 0 的 n 值；从二。