12_定积分

12_定积分内容摘要：

a byxO思考 1 根据定积分的几何意义， 的值一定是正数吗。 ba f (x )dx思考 2 试将曲线 与直线 x=0,x=4,y=0所围成的 图形的面积写成定积分的形式 . 提示 : ≥ 0(x∈ ［ 0,4］ )， 由定积分的几何意 义知，曲线 与直线 x=0,x=4,y=0围成图形的 面积可以用定积分表示为 yxyxyx40S x d x . 例 说明下列定积分所表示的意义，并根据 其意义求出定积分的值 . 10 2 dx21 xd xdxx 1 1 21(1) (2) (3) o yx2y1 解 （ 1） 10 2 dx表示的是图中所示长方形 的面积，由于这个长方形 的面积为 2210  dx2 o yxxy1 （ 2） 表示的是图中所 示梯形的面积， 由于这个梯形的面 21 xd x1 2 2 积为 . 2321 xd x  23所以 o （ 3） 半径为 1的半圆的面 表示的是图中所示 积，由于这个半圆 o yx1 1 1 dxx 1 1 21的面积为 . 2dxx 1 1 21 221 xy 所以 【 变式练习 】 说明定积分 所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值 . 21 2 xdx解析 是图中所示三角形的面积之差， 由于 表示的 所以 21 2 xdx3  O C DO A B SS21 2 xdx 3o yxxy 21 2 2 2 4 ABCDa b x b a   定理 d203 xπ d2033.2xπ π 对定积分的补充规定 : ( 1 ) , ( ) 0 .baa b f x x 当 时 令 d( 2 ) ( ) ,( ) ( ) .abbaaba b f x xf x x f x x当 且 d 存 在 时 则dd定理 ( ) [ , ] , , ( )[, ( ) ( )] .,bbaaf x a b k k f xk f fa xb x x k x 若 在 上 可 积 为 常 数 则在 上 dd也 可 积 且三、 定积分的性质 定理 ( ) [ , ] , ( ) ( ) [ , ],( ( ) ( ) ) ( ) ( ) .b b ba a af x g x xf x a b f x gfbx x g x xxa    若 在 上 可 积 则 在 上也 可 积 且 d d d补充：不论 的相对位置如何 , 上式总成立 . cba ,定理 （积分区间的可加性） d d d3 2 30 0 2( ) ( ) ( ) ,f x x f x x f x x  d d d3 6 30 0 6( ) ( ) (。