三角函数一章教案

三角函数一章教案内容摘要：

T A 210 30 O T1 A M1 y P1 P2 M2 x T2 13 课本 P10 练习 （五）归纳小结 本节课学习了以下内容： 1．三角函数线的定义； 2．会画任意角的三角函数线； 3．利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围。 （六）布置作业 课课练第 4 课 补充： 1．利用余弦线比较 cos 64 ,cos 285的大小； 2．若 42 ，则比较 sin 、 cos 、 tan 的大小； 3．分别根据下列条件，写出角  的取值范 围： （ 1） 3cos 2 ； （ 2） tan 1 ； （ 3） 3sin 2  ． 同角三角函数的基本关系（ 1） 三、 教学目标： 知识与技能 （ 1） 能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式； （ 2） 掌握三种基本关系式之间的联系； （ 3） 熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。 过程与方法 通过 定义 导出同角三角函数的基本关系式 ； 通过问题 解决 掌握三种基本关系式之间的联系 ；从而初步体验三角恒等式的变换， 熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法； 情感、态度与价值观 在三 角恒等式变换中，体会 化归的思想方法；培养思维的灵活性。 二、教学重、难点 重点 : 同角三角函数的基本关系式。 难点 : 同角三角函数的基本关系式的变式应用。 三、学法与教学用具 学法：自主、讨论、体验、感悟 教具 :多媒体、三角板 四、教学设想 （一） 创设情境 （ 复习引入） 问题 1 如果 53sin A ， A为第一象限的角，如 何求角 A的其它三角函数值； 问题 2 由于α的三角函数都是由 x、 y、 r 表示的，则角α三角函数之间有什么关系。 （二） 探索新知 14 ： 方案 1：由三角函数的定义，我们可以得到以下关系： （ 1）平方关系： 22sin cos 1； （ 2）商数关系： sintancos ； 方案 2： 由三角函数的三角函数线 (如图 )， 我们也可以得到上述关系。 说明： ①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如 22sin 4 cos 4 1等； ②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的 ：sinta n ( , )c os 2k k k Z   ； ③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如： 2cos 1 sin   ， 22si n 1 cos ， sincos tan  等。 （三）学以致用 例 1． （ 1）已知 12sin 13 ，并且  是第二象限角，求 cos ,tan． （ 2）已知 4cos 5 ，求 sin ,tan． 解：（ 1） ∵ 22si n cos 1， ∴ 2 2 2 212 5c os 1 sin 1 ( ) ( )13 13    ， 又 ∵  是第二象限角， ∴ cos 0 ，即有 5cos 13 ，从而 sin 12ta n cos 5   ， 15cot tan 12   ． （ 2） ∵ 22si n cos 1， ∴ 2 2 2 243si n 1 c os 1 ( ) ( )55     ， 又 ∵ 4cos 05   ， ∴  在第二或三象限角。 当  在第二象限时 ， 即有 sin 0 ，从而 3sin 5 ， sin 3tan cos 4   ； 当  在第四象限时 ，即有 sin 0 ，从而 3sin 5 ， sin 3tan cos 4 ． 总结： （ 1） 已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。 在O x P（ x,y) cos sin y M  15 求值 中，确定角的终边位置是关键和必要的。 有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。 （ 2）解题时产生遗漏的主要原因是： ① 没有确定好或不去确定角的终边位置； ② 利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。 例 2． 已知 tan 为非零实数，用 tan 表示 sin ,cos． 解： ∵ 22si n cos 1， sintancos ， ∴ 2 2 2 2( c o s t a n ) c o s c o s ( 1 t a n ) 1        ，即有 221cos 1 tan  ， 又 ∵ tan 为非零实数， ∴  为象限角。 当  在第一、四象限时 ，即有 cos 0 ，从而 2221 1 ta nc o s 1 ta n 1 ta n  ， 22t a n 1 t a ns i n t a n c o s 1 t a n      ； 当  在第二、三象限时 ，即有 cos 0 ，从而 2221 1 ta nc o s 1 ta n 1 ta n     ， 22t a n 1 t a ns i n t a n c o s 1 t a n       ． 总结解题的一般步骤： ①确定终边的位置（判断所求三角函数的符号）；②根据同角三角函数的关系式求值。 例 3 已知 13si n c os ( 0 )2x x x    ，求 sin ,cosxx． 解：由 13si n c os ( 0 )2x x x    等式两边平方： 2 2 213sin c o s 2 sin c o s ( )2x x x x   ． ∴ 3sin cos 4xx （ *）， 即13si n c os23si n c os4xxxx  ， sin ,cosxx可看作方程 2 1 3 3 024zz  的两个根，解得 1213,22zz   ． 又 ∵ 0 x  ， ∴ sin 0x ．又由（ *）式知 cos 0x 因此， 13si n , c os22xx  ． 例 3 已知 33cossin  ，求 sin cos 的 值。 解：将 33cossin  两边平方，得： 31cossin  16 35321c oss in21)c os( s in 2  315c oss in  思考 1： 若  在第二象限呢。 若  在第四象限呢。 结果是什么。 思考 2： 已知 )0(51c oss in ，求 的值。 及  33 c o ss inta n 解：由 ),2(0c os,0,2512c oss in  得： 由57c oss in,2549)c os( s in 2  得： 联立：34t a n53c o s 54s in57c o ss in 51c o ss in 12 591)53()54(c oss in 3333  （四）课堂巩固 课本第 18 页 练习 3， 4 （五）归纳小结： 1．同角三角函数基本关系式及成立的条件； 2．根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值； 3．在以上的题型中：先确定角的终边位置，再根据关系式求值。 如已知正弦或余弦，则 先用平方关系，再用其它关系求值； 若已知正切或余切，则可构造方程组来求值。 （六）布置 作业： 《课课练》第 5 课 同角三角函数的基本关系（ 2） 一、 教学目标： 知识与技能 根据三角函数关系式进行三角式的化简 ； 能够利用同角三角函数关系式证明三角恒等式； 过程与方法 灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力。 情感、态度与价值观 培养观察、归纳的思维品质，提高数学学习的兴趣。 二、教学重、难点 17 重点 :运用公式对三角式进行化简和证明。 难点 : 同角三角函数关系式的变形 运用。 三、学法与教学用具 学法：自主、讨论、体验、感悟 教具 :多媒体 四、教学设想 （一） 创设情境 （ 复习引入） 1．同角三角函数的基本关系式。 （ 1）平方关系： 22si n cos 1； （ 2）商数关系： sin tancos  ； tan 43 ，求 cos （二） 探索新知 式 的 化简 ： 例 1 化简 下列各题： （ 1） 21 sin 80 ； （ 2） 1 2 sin 40 cos 40 （ 3） 21tan 1sin  ； （ 4） 44661 cos sin1 cos sin 解：（ 1）原式 2co s 8 0 co s 8 0． （ 2）原式 22s i n 4 0 c o s 4 0 2 s i n 4 0 c o s 4 0   2( sin 4 0 c o s 4 0 ) | c o s 4 0 sin 4 0 | c o s 4 0 sin 4 0     ． （ 3） 原式 221 (1 s in s in c o sta n s in c o s s in 1(            在 一 、 三 象 限 ）在 二 、 四 象 限 ） （ 4）法 1：原式 2 2 2 4 42 2 3 6 6( s i n c o s ) c o s s i n( s i n c o s ) c o s s i n            = 222 2 2 22 c o s s i n 23 c o s s i n ( s i n c o s ) 3     法 2：原式 = 4466(1 c o s ) s in(1 c o s ) s in   法 3：原式 = 44661 (c o s s in )1 (c o s s in )   思考： 化简 1 s i n 1 s i n 1 c o s 1 c o s( ) ( )1 s i n 1 s i n 1 c o s 1 c o sx x x xx x x x       答案： x 在 第一、三象限为 4， x 在 第二、四象限为 4 说明： (1)利用同角三角函数关系式去掉根号是解题的关键，也是解此类题的入手之处。 (2)化简后的简单三角函数式应尽量满足以下几点：①所含三角函数的种类最少；②能求值（指准确值）尽量求值；③不含特殊角的三角函数值。 （给值求值） 例 2 已知  cos2sin ，求 的值。 及   c oss in2s inc os2s in5 c os4s in 2 解： 2ta nc o s2s in  18 6112 22t a n5 4t a nc os2s in5 c os4s in    2222 2 2s in 2 s in c o s ta n 2 ta n 4 4 8s in 2 s in c o s s in c o s ta n 1 4 1 5                  说明 ： 分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式 ， 常常 ①利用平方关系把 二次齐次式 化“ 1”。 ②把 分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式 同除以 cos ,将分子、分母转化为 tan 的代数式； 三角恒等式 的证明 ： 例 4 求证下列三角恒等式： （ 1） cos 1 si n1 si n cosxx ；（ 2） c o s sin 2 ( c o s sin )1 sin 1 c o s 1 sin c o s          证法一：由题义知 cos 0x ，所以 1 sin 0 ,1 sin 0xx   ． ∴ 左边 =2c o s (1 s in ) c o s (1 s in )(1 s in ) (1。