三角函数的图像与性质知识点及习题

三角函数的图像与性质知识点及习题内容摘要：

3 (1)已知 f(x)＝ sin x＋ 3cos x(x∈ R)，函数 y＝ f(x＋ φ)  |φ|≤π2 的图象关于直线 x＝ 0 对称，则 φ 的值为 ________. (2)如果函数 y＝ 3cos(2x＋ φ)的图象关于点  4π3 ， 0 中心对称，那么 |φ|的最小值为 ( ) A . π6 (1)π6 f (x)＝ 2sin π()3x ， y＝ f(x＋ φ)＝ 2sin()3x   图象关于 x＝ 0 对称， 即 f(x＋ φ)为偶函数． ∴ π3＋ φ＝ π2＋ kπ， k∈ Z， 即 φ＝ kπ＋ π6， k∈ Z， 所以 当 k＝ 0 时， φ＝ π6. (2)A 3cos 4(2 )3 ＝ 3cos 2π(2π)3  ＝ 3cos 2( ) 0,3  ∴ 2π3 ＋ φ＝ kπ＋ π2， k∈ Z， ∴ φ＝ kπ－ π6， k∈ Z， 取 k＝ 0，得 |φ|的最小值为 探究提高 若 f(x)＝ Asin(ωx＋ φ)为偶函数，则当 x＝ 0 时， f(x)取得最大或最小值 . 若 f(x)＝ Asin(ωx＋ φ)为奇函数，则当 x＝ 0 时， f(x)＝ 0. 如果求 f(x)的对称轴，只需令 ωx＋ φ＝ π2＋ kπ (k∈ Z)，求 x. 如果求 f(x)的对称中心的横坐标，只需令 ωx＋ φ＝ kπ (k∈ Z)即可 . 变式训练 3 (1)已知函数 f(x)＝ sinx＋ acos x 的图象的一条对称轴是 x＝ 5π3 ，则函数 g(x)＝ asin x＋ cos x 的最大值是 ( ) 23 33 63 由题意得 f(0)＝ f 10()3 ， ∴ a＝－ 32 － a2. ∴ a＝－ 33 , g(x)＝－ 33 sin x＋ cos x＝ 2 33 sin 2()3x  ， ∴ g(x)max＝ 2 33 . (2)若函数 f(x)＝ asin ωx＋ bcos ωx (0ω5， ab≠0)的图象的一条对称轴方程是 x＝ π4ω，函数 f′(x)的图象的一个对称中心是  π8， 0 ，则 f(x)的最小正周期是 ________. (1)B (2)π 由题设 ， 有 π()4f  ＝ 177。 a2＋ b2， 即 22 (a＋ b)＝ 177。 a2＋ b2， 由此得到 a＝ b. 又 ( ) 08f   ， 所以 aω(cos sin )88  ＝ 0， 从而 tan ωπ8 ＝ 1， ωπ8 ＝ kπ＋ π4， k∈ Z， 即 ω＝ 8k＋ 2， k∈ Z， 而 0ω5， 所以 ω＝ 2， 于是 f(x)＝ a(sin 2x＋ cos 2x)＝ 2asin(2 )4x  故 f(x)的最小正周期是 π. 题型 八 三角函数的值域与最值的求法及应用 例 3(1)求函数 y＝ 2sinxcos2x1＋ sinx 的值域； (2)求函数 y＝ sinxcosx＋ sinx＋ cosx 的最值； (3)若函数 f(x)＝ 1 cos24sin( )2xx－ asinx2cos(π－ x2)的最大值为 2，试确定常数 a 的值． 【解析】 22 s in (1 s in )1 1 s inxxx（ ） y= ＝ 2sinx(1－ sinx)＝ 2sinx－ 2sin2x＝－ 2(sinx－ 12)2＋ 12. ∵ 1＋ sinx≠0， ∴ － 1＜ sinx≤1.∴ － 4＜ y≤12. 故函数 y＝ 2sinxcos2x1＋ sinx 的值域为 (－ 4，12]． (2)令 t＝ sinx＋ cosx，则 sinxcosx＝ t2－ 12 ，且 |t|≤ 2. ∴ y＝ 12(t2－ 1)＋ t＝ 12(t＋ 1)2－ 1， ∴ 当 t＝－ 1时， ymin＝－ 1；当 t＝ 2时， ymax＝ 2＋ 12. (3)f(x)＝ 2cos2x4cosx＋ asinx2cosx2＝12cosx＋a2sinx ＝ 14＋ a24sin(x＋ φ)， (其中 tanφ＝1a) 由已知得 14＋ a24＝ 2，解得 a＝ 177。 15. 【点评】 求三角函数的最值问题，主要有以下几种题型及对应解法． (1)y＝ asinx＋ bcosx 型，可引用辅角化为 y＝ a2＋ b2sin(x＋ φ)(其中 tanφ＝ ba)． (2)y＝ asin2x＋ bsinxcosx＋ ccos2x 型，可通过降次整理化为 y＝ Asin2x＋ Bcos2x＋ C. (3)y＝ asin2x＋ bcosx＋ c 型，可换元转化为二次函数． (4)sinxcosx 与 sinx177。 cosx 同时存在型，可换元转化． (5)y＝ asinx＋ bcsinx＋ d(或 y＝ acosx＋ bccosx＋ d)型，可用分离常数法或由 |sinx|≤1(或 |cosx|≤1)来解决，也可化为真分式去求解． (6)y＝ asinx＋ bccosx＋ d型，可用斜率公式来解决． 例 4 已知函数 f(x)＝ sin2x＋ acos2x(a∈ R， a 为常数 )，且 π4是函数 y＝ f(x)的一个零点． (1)求 a 的值，并求函数 f(x)的最小正周期； (2)当 x∈ [0， π2]时，求函数 f(x)的最大值和最小值及相应的 x 的值． 【解析】 (1)由 π4是 y＝ f(x)的零点得 f(π4)＝ sinπ2＋ acos2π4＝ 0，求解 a＝－ 2， 则 f(x)＝ sin2x－ 2cos2x＝ sin2x－ cos2x－ 1＝ 2sin(2x－ π4)－ 1， 故 f(x)的最小正周期为 T＝ 2π2 ＝ π. (2)由 x∈ [0， π2]得 2x－ π4∈ [－ π4， 3π4 ]，则－ 22 ≤sin(2x－ π4)≤1， 因此－ 2≤ 2sin(2x－ π4)－ 1≤ 2－ 1，故当 x＝ 0时， f(x)取最小值－ 2， 当 x＝ 3π8 时， f(x)取最大值 2－ 1. 设 a∈ R， f(x)＝ cosx(asinx－ cosx)＋ cos2(π2－ x)满足 f(－ π3)＝ f(0)，求函数 f(x)在 [π4， 11π24 ]上的最大值和最小值． 【解析】 f(x)＝ asinxcosx－ cos2x＋ sin2x＝ a2sin2x－ cos2x 由 f(－ π3)＝ f(0)得－ 32 a2＋ 12＝－ 1，解得 a＝ 2 3. ∴ f(x)＝ 3sin2x－ cos2x＝ 2sin(2x－ π6) 当 x∈ [π4， π3]时， 2x－ π6∈ [π3， π2]， f(x)为增函数． 当 x∈ [π3， 11π24 ]时， 2x－ π6∈ [π2， 3π4 ]， f(x)为减函数． ∴ f(x)在 [π4， 11π24 ]上的最大值为 f(π3)＝ 2 又 ∵ f(π4)＝ 3， f(11π24 )＝ 2 ∴ f(x)在 [π4， 11π24 ]上的最小值为 f(11π24 )＝ 2. 题型 九 分类讨论及方程思想在三角函数中的应用 例题： 已知 函数 f(x)＝－ 2asin 2x＋ π6 ＋ 2a＋ b 的定义域为  0， π2 ，函数的最大值为 1，最小值为－ 5， (1)求 a 和 b 的值 . (2)若 a＞ 0，设 g(x)＝ f  x＋ π2 且 lg g(x)＞ 0，求 g(x)的单调区间． 点评 ① 求出 2x＋ π6的范围，求出 sin(2x＋ π6)的值域 .② 系数 a 的正、负影响着 f(x)的值，因而要分 a0， a0两类讨论 .③ 根据 a0或 a0求 f(x)的最值，列方程组求解 . 解 (1)∵ x∈  0， π2 ， ∴ 2x＋ π6∈  π6， 7π6 .∴ sin 2x＋ π6 ∈  － 12， 1 ， ∴ － 2asin 2x＋ π6 ∈ [－ 2a， a]． ∴ f(x)∈ [b,3a＋ b]， 又 ∵ － 5≤f(x)≤1， ∴ b＝－ 5,3a＋ b＝ 1， 因此 a＝ 2， b＝－ 5. (2)由 (1)得 a＝ 2， b＝－ 5， ∴ f(x)＝－ 4sin 2x＋ π6 － 1， g(x)＝ f  x＋ π2 ＝－ 4sin 2x＋ 7π6 － 1＝ 4sin 2x＋ π6 － 1， 又由 lg g(x)＞ 0 得 g(x)＞ 1， ∴ 4sin 2x＋ π6 － 1＞ 1， ∴ sin 2x＋ π6 ＞ 12， ∴ 2kπ＋ π6＜ 2x＋ π6＜ 2kπ＋ 5π6 ， k∈ Z， 其中当 2kπ＋ π6＜ 2x＋ π6≤2kπ＋ π2， k∈ Z时， g(x)单调递增，即 kπ＜ x≤kπ＋ π6， k∈ Z， ∴ g(x)的单调增区间为  kπ， kπ＋ π6 ， k∈ Z. 又 ∵ 当 2kπ＋ π2＜ 2x＋ π6＜ 2kπ＋ 5π6 ， k∈ Z时， g(x)单调递减，即 kπ＋ π6＜ x＜ kπ＋ π3， k∈ Z. 三角函数的图象与性质 练习一 一、选择题 1．对于函数 f(x)＝ 2sinxcosx，下列选项正确的是 ( ) A． f(x)在 (π4， π2)上是递增的 B． f(x)的图象关于原点对称 C． f(x)的最小正周期为 2π D． f(x)的最大值为 2 【解析】 f(x)＝ sin2x f(x)在 (π4， π2)上 是递减的， A错； f(x)的最小正周期为 π， C错； f(x)的最大值为 1， D错；选 B. 2．若 α、 β∈ (－ π2， π2)，那么 “α＜ β”是 “tanα＜ tanβ”的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【解析】 α、 β∈ (－ π2， π2)， tanx在此区间上单调递增． 当 α＜ β时， tanα＜ tanβ；当 tanα＜ tanβ时， α＜ C. 3．已知函数 f(x)＝ sin(ωx＋ φ)(ω0， |φ|π2)的最小正周期为 π，将该函数的图象向左平移 π6个单位后，得到的图象对应的函数为奇函数，则 f(x)的图象 ( ) A．关于点 ( π12， 0)对称 B．关于直线 x＝ 5π12对称 C．关于点 (5π12， 0)对称 D．关于直线 x＝ π12对称 【解析】 由已知得 ω＝ 2，则 f(x)＝ sin(2x＋ φ) 设平移后的函数为 g(x)，则 g(x)＝ sin(2x＋ π3＋ φ)(|φ|π2)且为奇函数 ∴ φ＝－ π3， f(x)＝ sin(2x－ π3) ∴ 图象关于直线 x＝ 5π12对称，选 B. 4．已知 f(x)＝ sinx， x∈ R， g(x)的图象与 f(x)的图象关于点 (π。