二次函数的图像与性质

二次函数的图像与性质内容摘要：

) ， ∵ 抛物线过原点 ( 0 ， 0 ) ， ∴ a ( 0 － 1 )2－ 1 ＝ 0 ，解得 a ＝ 1 ， ∴ 该函数解析式为 y ＝ ( x － 1 )2－ 1 ，即 y ＝ x2－ 2 x . 解 皖考解读 考点聚焦 皖考探究 当堂检测 用待定系数法确定二次函数解析式时 ， 已知三点的坐标 ， 通常设为一般形式 y ＝ ax2＋ bx ＋ c ；已知顶点坐标 ， 通常设为顶点形式 y ＝ a ( x － h )2＋ k ；已知抛物线与 x 轴的两个交点的坐标 ， 通常设为交点式 y ＝ a ( x － x 1 )( x － x 2 ) ．无论用哪种方法 ， 都必须具备三个已知条件． 皖考解读 考点聚焦 皖考探究 当堂检测 变式题 如图 12 － 1 ， 在平面直角坐标系 xO y 中 ， 边长为 2的正方形 O A B C 的顶点 A 、 C 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上 ， 二次函数 y ＝－23x2＋ bx ＋ c 的图象经过 B 、 C 两点． ( 1) 求该二次函数的解析式； ( 2) 结合函数的图象探索：当 y 0 时 x 的取值范围． 图 12 － 1 皖考解读 考点聚焦 皖考探究 当堂检测 用待定系数法将已知 两点的坐标代入二次函数解析 式，即可求出 b ， c 的值，然后通过解一元二次方程求抛物线与 x 轴的交点坐标，由图象法求得函数值 y 为正数时，自变量 x 的取值范围． 解 析 ( 1 ) 由题意可得 B (2 ， 2) ， C (0 ， 2) ，将点 B 、 C的坐标代入 y ＝－23x2＋ bx ＋ c ，得 c ＝ 2 ， b ＝43，所以二次函数的解析式是 y ＝－23x2＋43x ＋ 2. ( 2 ) 解－23x2＋43x ＋ 2 ＝ 0 ，得 x1＝ 3 ， x2＝－ 1 ，由图象可知： y 0时 x 的取值范围是－ 1 ＜ x ＜ 3. 解 皖考解读 考点聚焦 皖考探究 当堂检测 求二次函数的解析式时 ， 一般先设出其解析式的一般形式 ， 然后将点的坐标代入求解．解析式的形式有的已经给出 ，如果没有给出 ， 要根据函数的图象或已知条件设出相应的解析式进行求解． 皖考解读 考点聚焦 皖考探究 当堂检测 探究四 二次函数与一元二次方程 命题角度： 1 ． 二次函数与一元二次方程之间的关系； 2 ． 图象法解一元二次方程； 3 ． 二次函数与不等式 ( 组 ) ． 皖考解读 考点聚焦 皖考探究 当堂检测 例 4 已知二次函数 y ＝ x2－ 3 x ＋ m ( m 为常数 ) 的图象与x 轴的一个交点为 (1 ， 0 ) ， 则关于 x 的一元二次方程 x2－ 3 x＋ m ＝ 0 的两实数根是 ( ) A ． x 1 ＝ 1 ， x 2 ＝－ 1 B ． x 1 ＝ 1 ， x 2 ＝ 2 C ． x 1 ＝ 1 ， x 2 ＝ 0 D ． x 1 ＝ 1 ， x 2 ＝ 3 B 由于二次函数 y ＝ x2－ 3 x ＋ m ( m 为常数 ) 的图象与 x 轴的一个交点为 ( 1 ， 0 ) ，即 x ＝ 1 是一元二次方程 x2－ 3 x ＋ m ＝ 0 的根，代入得 12－ 3 ＋ m ＝ 0 ， m ＝ 2 ，原方程为 x2－ 3 x ＋ 2 ＝ 0 ，解得 x 1 ＝ 1 ， x 2 ＝ 2 ，故选 B. 解 析 皖考解读 考点聚焦 皖考探究 当堂检测 抛物线 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 与 x 轴的交点横坐标就是一元二次方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 的解 ， 体现了数学的数形结合思想． 皖考解读 考点聚焦 皖考探究 当堂检测 探究五 二次函数图象的平移 命题角度： 1 ． 二次函数图象的平移规律； 2 ． 利用平移求二次函数的解析式． 皖考解读 考点聚焦 皖考探究 当堂检测 例 5 将抛物线 y ＝ 3 x2向上平移 3 个单位 ， 再向左平移 2 个单位 ， 那么得到的抛物线的解析式为 ( ) A ． y ＝ 3( x ＋ 2)2＋ 3 B ． y ＝ 3( x － 2)2＋ 3 C ． y ＝ 3( x ＋ 2)2－ 3 D ． y ＝ 3( x － 2)2－ 3 A 由 “ 上加下减 ” 的原则可知，将抛物线 y ＝ 3 x2向上平移 3 个单位所得抛物线的解析式为 y ＝ 3 x2＋ 3 ； 由 “ 左加右减 ” 的原则可知，将抛物线 y ＝ 3 x2＋ 3 向左平移 2 个单位所得抛物线的解析式为 y ＝ 3( x ＋ 2)2＋ 3. 故选 A. 解 析 皖考解读 考点聚焦 皖考探究 当堂检测 注意向左、向右平移是相对于 x 所做的平移 ， 如本题中 ，抛。