函数与导数习题及答案

函数与导数习题及答案内容摘要：

( 1) ( 1)f x a x x   在 1x 处有极值． （ Ⅰ ）求实数 a 值； （ Ⅱ ）求函数 ()fx 的单调区间； （ Ⅲ ）令 ( ) 39。 ( )g x f x ，若曲线 ()gx在 (1, (1))g 处的切线与两坐标轴分别交于 ,AB两点（ O 为坐标原点），求 AOB 的面积． 32．已知函数 ( ) ln( 2 1) 1f x a x bx   ． 16 （ Ⅰ ）若函数 ()y f x 在 1x 处取得极值，且曲线 ()y f x 在点 (0, (0))f 处的切线与直线 2 3 0xy   平行，求 a 的值； （ Ⅱ ）若 12b，试讨论函数 ()y f x 的 单调性． 33．已知函数 2()1xafx x  （其中 aR ）． （ Ⅰ ）若函数 ()fx 在点 (1, (1))f 处的切线为 12y x b，求实数 ,ab的值； （ Ⅱ ）求函数 ()fx 的单调区间． 34．已知函数 ( ) ln af x xx． （ Ⅰ ）当 0a 时，求函数 ()fx 的单调区间； （ Ⅱ ）若函数 ()fx 在 [1,]e 上的最小值是 32，求 a 的值． 35．已知函数 ( ) 2 lnpf x px xx  ． （ Ⅰ ）若 2p ，求曲线 ()fx 在点 (1, (1))f 处的切线方程； （ Ⅱ ）若函数 ()fx 在其定义域内为增函数，求正实数 p 的取值范围． 17 36．已知函数   32 331f x a x xa   (Ra，且 0)a ，求 ()fx 及 函数 ()fx 的极大值与极小值． 37．已知函数 1( ) lnf x a xx， aR ． （ Ⅰ ）若曲线 ()y f x 在点 (1, (1))f 处的切线与直线 20xy垂直，求 a 的值； （ Ⅱ ）求函数 ()fx 的单调区间； （ Ⅲ ）当 1a ，且 2x 时，证明： ( 1) 2 5f x x   ． 38．已知函数 ( ) ln axf x xx，其中 a 为大于零的常数． （ Ⅰ ）若曲线 ()y f x 在点 (1, (1))f 处的切线与直线 12yx 平行，求 a 的值； （ Ⅱ ）求函数 ()fx 在区间 [1,2]上的最小值． 39．已知函数 2 2( ) ln axf x x e(aR ,e 为自然对数的底数 )． （ Ⅰ ）求函数 ()fx 的递增区间； （ Ⅱ ）当 1a 时，过点 (0, )( )P t tR 作曲线 ()y f x 的两条切线，设两切点为1 1 1( , ( ))P x f x 和 2 2 2 1 2( , ( ))( )P x f x x x，求证： 120xx． 18 一、选择题 15 BDBCD 610 DDADB 1115 CABBD 1620 BBCAA 2125 DCBDC 2630 CBADA 3135 BADCA 3640 BACAB 4145 BBADD 二、填空题 x－ y－ 2＝ 0 （ 0,1） （－ ∞ ， 0） 2 8 a＝ 3 (－ 4， 0) a＝ 8 (－∞，－ 1)∪ (0， 1) f(x)＝ x＋ 1x－ 1 1 a＝ 3. 1 [45，＋∞ ) 1 (－ π ，－ π 2 ]和 [0， π 2 ] 1 . 0， 12 1 12x－ 3y－ 16＝ 0 或 3x－ 3y＋ 2＝ 0 1 f(3)ef(2)e2f(－ 1) 1 16 227 1 [e，＋∞ ) 1 (－∞， 2－ 1e)∪ (2－ 1e， 2) (－∞，－ 1)∪ (1，＋∞ ) 2 (－∞，－ 32 ] 2 [e，＋ ∞ ） 2 4x－ y－ 3＝ 0 2 9 2 (0,1] 三、解答题 解 : 2( ) [ ( 2 ) 2 ]xf x e x a x a      （ Ⅰ ）当 a=0 时， 2( ) ( 2) ,xf x x e 2( ) ( 2 2)xf x e x x   , (1) 3fe , (1) 5fe  , ∴ 函数 f（ x）的图像在点 A（ 1,f（ 1））处的切线方程为 y3e=5e（ x1） , 即 5exy2e=0 19 （ Ⅱ ） 2( ) [ ( 2 ) 2 ]xf x e x a x a     , 考虑到 0xe 恒成立且 2x 系数为正， ∴ f（ x）在 R 上 单调等价于 2 ( 2 ) 2 0x a x a    恒成立 . ∴ （ a+2） 24（ a+2） 0, ∴ 2a2 ， 即 a 的取值范围是 [2， 2]， （若得 a 的取值范围是（ 2， 2），可扣 1 分） （ Ⅲ ）当 52a时 , 2 5( ) ( 2 ) ,2 xf x x x e   2 11( ( )22xf x e x x   , 令 ( ) 0fx  ，得 12x，或 ， 令 ( ) 0fx  ，得 12x ，或 ， 令 ( ) 0fx  ，得 1 12 x   x, ()fx ,f（ x）的变化情况如下表 X 1( , )2 12 1( ,1)2 1 (1, ） ()fx + 0 0 + f（ x） 极大值 极小值 所以，函数 f（ x）的极小值为 f（ 1） =12e 2.． 解： ∵ 函数 f(x)在定义域内单调递减， ∴ f′ (x)＝ 2ln xx － k≤ 0 在 (0，＋ ∞ )上恒成立． 设 φ(x)＝ ln xx ，则 φ′(x)＝ 1－ ln xx2 ， ∴ φ (x)在 (0， e)上单调递增，在 (e，＋ ∞ )上单调递减， ∴ φ (x)max＝ φ(e)＝ 1e， 故实数 k 的取值范围为  2e，＋ ∞ 3． 解： f′(x)＝ 2(x＋ 1)(x－ 2)＋ (x＋ 1)2＝ 3(x－ 1)(x＋ 1)， 所以 f(x)在 (－ ∞ ，－ 1)， (1，＋ ∞ )上单调递增，在 (－ 1， 1)上单调递减， 所以极大值为 f(－ 1)＝ f(2)＝ 0， 20 所以 a＋ 2＝ 2 或 a≤ － 1，a＋ 2≥ － 1， 得 a＝ 0 或－ 3≤ a≤ － 1. 4． 证明： 由 f(x)＝ x3＋ bx2＋ cx，得 f′(x)＝ 3x2＋ 2bx＋ c. 由 x＝ 0 是函数 f(x)的一个极值点知 f′(0)＝ c＝ 0. 又由 f(x)的图像经过点 A(3， 0)，得 f(3)＝ 27＋ 9b＋ 3c＝ 0， 所以 b＝－ 3，所以 f(x)＝ x3－ 3x2. 由 l1∥ l2，得 f′(x1)＝ f′(x2)，即 3x21－ 6x1＝ 3x22－ 6x2， 即 3(x1－ x2)(x1＋ x2－ 2)＝ 0. 因为 x1－ x2≠ 0，所以 x1＋ x2＝ 2， 所以当 l1∥ l2时， x1＋ x2为定值． 5． 解： f′(x)＝ 2ax2－ 2x＋ 1x ， 由题知 2ax2－ 2x＋ 1＝ 0 在 (0，＋ ∞ )上有两个不同的实根． 设方程 2ax2－ 2x＋ 1＝ 0 的两根为 x1， x2，且 0x1x2，根据题意得 0a12， 所以 f(x)在 (0， x1)上单调递增，在 (x1， x2)上单调递减， 在 (x2，＋ ∞ )上单调递增， 所以 f(x)极小值 ＝ f(x2)． f(x2)－ 32的证 明如下： 由 f′(x2)＝ 0，得 2ax22－ 2x2＋ 1＝ 0，则 a＝ 2x2－ 12x22∈  0， 12 ， 解得 x212且 x2≠ 1. f(x2)＝ x22 2x2－ 12x22－ 2x2＋ ln x2＝－ x2－ 12＋ ln x2， 令 g(x)＝－ x－ 12＋ ln x， g′(x)＝－ 1＋ 1x＝ 1－ xx ，则 g(x)在  12， 1 上单调递增，在 (1，＋ ∞ )上单调递减， 所以 g(x)maxg(1)＝－ 32，所以 f(x)的极小值小于－ 32. 6． 解： (1)证明： f′(x)＝ 3ax2＋ 2bx＋ c， 由题设，得 f′(1)＝ 3a＋ 2b＋ c＝ 0， ① f′ (m)＝ 3am2＋ 2bm＋ c＝－ 3a.② ∵ abc， ∴ 6a3a＋ 2b＋ c6c， ∴ a0， c0. 将 ① 代入 ② 得 3am2＋ 2bm－ 2b＝ 0， ∴ Δ＝ 4b2＋ 24ab≥ 0， 得  ba2＋ 6ba ≥ 0， ∴ ba≤ － 6 或 ba≥ 0③ . 21 将 c＝－ 3a－ 2b 代入 abc 中，得－ 1ba1.④ 由 ③④ 得 0≤ ba1. (2)由 (1)知， f′(x)＝ 3ax2＋ 2bx＋ c(a0)， Δ＝ 4b2－ 12ac0， ∴ 方程 f′(x)＝ 3ax2＋ 2bx＋ c＝ 0 有两个不等的实根，不妨设其为 x1， x2， 又 f′(1)＝ 3a＋ 2b＋ c＝ 0， ∴ 不妨令 x1＝ 1，则 x2＝－ 2b3a－ 1， ∴ x20x1， ∴ 当 xx2或 xx1时， f′(x)0；当 x2xx1时， f′(x)0. ∴ 函数 f(x)的单调递增区间是 [x2， x1]． ∵ |x1－ x2|＝ 2＋ 2b3a， 0≤ ba1， ∴ 2≤ |x1－ x2|83. ∵ 函数 f(x)在 区间 [s， t]上单调递增， ∴ [s， t]⊆[x2， x1]， ∴ 0|s－ t|83，即 |s－ t|的取值范围是  0， 83 . 7． 解 (1)当 a＝ 32时， f(x)＝ ex2－1ex－32x， f′ (x)＝ 12ex[(ex)2－ 3ex＋ 2]＝ 12ex(ex－ 1)(ex－ 2)， 令 f′ (x)＝ 0，得 ex＝ 1或 ex＝ 2，即 x＝ 0或 x＝ ln 2； 令 f′ (x)0，得 x0 或 xln 2； 令 f′ (x)0，得 0xln 2. ∴ f(x)的增区间是 (－ ∞ ， 0]， [ln 2，＋ ∞ )，减区间是 (0， ln 2)． (2)f′ (x)＝ ex2＋1ex－ a， 令 ex＝ t，由于 x∈ [－ 1,1]， ∴ t∈ [1e， e]． 令 h(t)＝ t2＋ 1t(t∈ [1e， e])， h′ (t)＝ 12－ 1t2＝ t2－ 22t2 ， ∴ 当 t∈ [1e， 2)时， h′ (t)0，函数 h(t)为单调递减函数； 当 t∈ ( 2， e]时， h′ (t)0，函数 h(t)为单调递增函数． 故 h(t)在 [1e， e]上的极小值点为 t＝ 2，且 h( 2)＝ 2. 又 h(e)＝ e2＋ 1eh(1e)＝ 12e＋ e， 22 ∴ 2≤ h(t)≤ e＋ 12e. ∵ 函数 f(x)在 [－ 1,1]上为单调函数， ① 若函数在 [－ 1,1]上单调递增，则 a≤ t2＋ 1t对 t∈ [1e， e]恒成立，所以 a≤ 2； ② 若函数 f(x)在 [－ 1,1]上单调递减，则 a≥ t2＋ 1t对 t∈ [1e， e]恒成立，所以 a≥ e＋ 12e， 综上可得 a的取值范围是 (－ ∞ ， 2]∪ [e＋ 12e，＋ ∞ )． 8． 解 (1)由已知得， f′ (x)＝ (x2＋ ax＋ 1)ex＋ ex(2x＋ a)＝ [x2＋ (a＋ 2)x＋ a＋ 1]ex＝ (x＋ a＋ 1)(x＋ 1)ex. ∵ a0， ∴ － a－ 1－ 1. ∴ 当 x∈ (－ ∞ ，－ a－ 1)时， f′ (x)0；当 x∈ (－ a－ 1，－ 1)时， f′ (x)0；当 x∈(－ 1，＋ ∞ )时， f′ (x)0. f(x)的单调递增区间为 (－ ∞ ，－ a－ 1)和 (－ 1，＋ ∞ )，单调递减区间为 (－ a－ 1，－ 1)． 且当 x＝－ 1时， f(x)有极小值 (2－ a)e－ 1， 当 x＝－ a－ 1时， f(x)有极大值 (a＋ 2)e－ a－ 1. (2)由 (1)知， f′ (x)＝ (x＋ a＋ 1)(x＋ 1)ex，令 g(x)＝ f′ (x)，则 g′ (x)＝ [x2＋ (a＋ 4。