【优化方案】第一课时一元二次不等式及其解法

【优化方案】第一课时一元二次不等式及其解法内容摘要：

Δ ＝ 490 ，所以方程 3 x2＋ 5 x － 2 ＝ 0 有两个实数根，即 x1＝－ 2 ， x2＝13. 画出 函数 y ＝ 3 x2＋ 5 x － 2 的图象如图 2 所示，由图象得原不等式的解集为 { x | x － 2 或 x 13} ． ( 3) 法一：因为 Δ ＝ 90 ，方程－ 2 x2＋ x ＋ 1 ＝ 0的两个根为 x1＝－12， x2＝ 1. 函数 y ＝－ 2 x2＋x ＋ 1 的图象是开口向下的抛物线 ( 如图 3) ，与 x 轴交于点 ( －12， 0) 和 ( 1, 0) ．观察图象得不等式的解集为 { x | x －12或 x 1 } ． 法二：不等式两边同乘以－ 1 ，可得 2 x2－ x－ 10. 方程 2 x2－ x － 1 ＝ 0 的解为 x 1 ＝－12， x 2 ＝ 1 ，函数 y ＝ 2 x2－ x － 1 的图象是开口向上的抛物线，所以不等式的解集为 { x | x －12或 x 1 } ． ( 4 ) 因为 Δ ＝ 0 ，方程 9 x2－ 6 x ＋ 1 ＝ 0 有两个相等的实数根： x1＝ x2＝13.函数 y ＝ 9 x2－ 6 x ＋ 1 的图象是开口向上的抛物线 ( 如图 4) ，与 x 轴仅有一个交点 (13， 0) ．由图象可得不等式的解集为 { x | x∈ R 且 x ≠13} ． ( 5 ) 因为 Δ ＝ 16 － 3 2 ＝－ 160 ，所以方程 x2－ 4 x＋ 8 ＝ 0 无实数根，函数 y ＝ x2－ 4 x ＋ 8 的图象是开口向上的抛物线，与 x 轴无交点，所以不等式的解集为 ∅ . 一元二次不等式与相应一元二次方程的关系 例 2 已知不等式 ax2＋ bx＋ c＞ 0的解集为 (α， β)，且 0＜ α＜ β， 求不等式 cx2＋ bx＋ a＜ 0的解集 ． 【分析】 由条件知 a＜ 0， α、 β为方程 ax2＋ bx＋c＝ 0的两个根，利用根与系数的关系找出 a、 b、 c与 α、 β的关系，再利用此关系解不等式． 【解】 由 ax2＋ bx ＋ c ＞ 0 的解集为 ( α ， β ) ，知 a ＜ 0 ， α ， β 为方程 ax2＋ bx ＋ c ＝ 0 的两个根， ∴ α ＋ β ＝－ba， αβ ＝ca， ∴ b ＝－ a ( α ＋ β ) ， c ＝ a α β ， ∴ 不等式变为 a α β x2－ a ( α ＋ β ) x ＋ a ＜ 0 ， 又 ∵ a ＜ 0 ， ∴ α β x2－ ( α ＋ β ) x ＋ 1 ＞ 0 ， 变形式 ( αx － 1 ) ( βx － 1) ＞ 0 ∵ 0 ＜ α ＜ β ， ∴。