新人教a版高中数学选修2-223数学归纳法3课时

新人教a版高中数学选修2-223数学归纳法3课时内容摘要：

，达到学以致用的目的，提高学生灵活运用知识的能力。 五、说 学法 “问题是数学的心脏”，课前我将预设一些问题让学生带着问题预习新课，课堂上老师结合“多米诺骨牌”游戏的展示，围绕“递推“这一中心，提出一连串的问题，引导学生积极思考，通过类比，从游戏中找到知识的生长点，进而抽象出数学归纳法，这样便突破了教学上的难点，同时安排 一定的时间让学生进行 课堂练习，布置适量的作业以进一步巩固所学知识并及时做好知识反馈，使学生亲历观察、分析、合情推理、认同和论证的思维过程，从而达到预设的教学目标。 六、说教学过程 （一）新课引入 从财主儿子学写字和等差数列的通项公式入手，进一步使学生体会到虽然通过归纳推理可以帮助人们发现问题和提出问题，但利用归纳推理得到的结论是不可靠的，其正确与否还必须经过严格的证明。 然后直接指出，同样用归纳推理得到的等差数列的通项公式和自然数的前 n 项平方和公式都具有猜测的性质，它们都是与自然数有关的数学命题，而自然数有 无限多个，我们又无法对所有的自然数逐一验证，那么如何判断命题的正确性呢。 旧知识产生了新问题，以此激起学生强烈的求知欲，从而水到渠成地引入新课 —— 数学归纳法。 （二）讲新课 理论探讨及建构 那么什么是数学归纳法呢。 带着这一问题，我将开始展示“多米诺骨牌”游戏，随后提出问题：“怎样会造成最后一个骨牌不能倒下。 以及全部倒下需要什么条件。 ” 经过学生的思考讨论，可能会有多种答案，此时老师抓住其中较有代表性的几种答案展开分析，比如有的会说“所有的骨牌都会被推倒”。 有的会说“如果没有一张骨牌被推倒，那‘假若’还有什 么意义呢。 ” 有的会说“只要有一张骨牌被推倒，则该张骨牌后所有的骨牌都会被推倒。 ”对于第一种回答，它显然可以被第二种回答否定，第三种回答思维严密，它其实是在原有的条件下又附加了“事先有一张骨牌被推倒”这一个新的条件，因此，它揭示的是一个不争的事实，易于得到其他学生的认同，老师此时不失时机地予以充分肯定，并进一步提出第二个问题：“那么，要保证所有的骨牌被推倒，应该具备哪些条件呢。 ” 此时学生自然会结合第三种回答和前面的假设，经过思考和讨论得出所有牌被推倒必须具备两个条件： 条件 1:第一张骨牌被推倒； 条件 2 :若前一张骨牌被推倒，则后一张骨牌被推倒。 老师再问：“条件 1和条件 2各具有什么样的作用呢。 ” 学生经过思考讨论不难发现，条件 1 是前提，是基础，条件 2是递推，两者结合起来就能保证所有牌被推倒。 “结合等差数列的通项公式，你能找到它与‘多米诺骨牌’游戏之间存在的相同相似点吗。 如果能找到他们在某些方面的相同或相似，那么我们即可以利用前面学过的类比推理方法来找到等差数列公式成立必需具备的条件了。 ”鉴于学生的实际认知水平，老师适当予以点拨，学生在经过思考和讨论便会发现： 第一， 一列骨牌是一列，一列数也是一列，它们都 是一个系列； 第二， 有一张牌，就有数列中一个相应的项； 第三， 不同的牌，数列中就有不同的项。 在此基础上，老师提出第五个问题：“既然这两类事物之间存在以上的相同相似点，而我们又已经找到了成功 ” 多米诺骨牌”必须具备的两个条件，那么能不能利用类比推理的方法先建立两类事物相关“元素”之间的对应关系，再进一步得到等差数列通项公式对任意的自然数 n 都成立的条件。 ” 问题中指出学生解决问题的方法和努力的方向，有利于增强解决问题的信心，便于发挥学生的主观能动性，培养学生创造性地运用已学过的知识来解决新 问题的能力。 在老师 的启发和引导下，学生经过思考、讨论，不难发现等差数列和” 多米诺骨牌”游戏这两类事物的相关“元素”之间可以建立如下的对应关系： 1 张骨牌 数列中相应的一项； 1 张骨牌倒下 数列中相应的 1 个命题成立 根据这种对应关系，进一步得到等差数列公式恒成立必须具备的两个条件： （ 1） 当 n=1 时，命题成立； （ 2） 假设 n=k 时命题成立，则当 n=k+1 时命题也成立。 这就是数学归纳法，老师及时进行板书。 这样，通过游戏展示 寻求“多米诺骨牌”条件 “ 多米诺骨牌”游戏与数列类比 联想类推 理论建构，层层深入，逐步推进，起到了一石二鸟的作用：一是学生通过自己的努力从具体问题中抽象出了数学归纳法，二是有” 多米诺骨牌”游戏这一直观参照物，分解了数学归纳法教学上的难点。 在抽象出数学归纳法的过程中，重视了学生的亲身体验，激励学生积极参与，鼓励学生大胆探索，创造性地抽象出新理论，有利于培养学生的抽象思维和创新能力。 接着老师提出几个问题让学生思考，如数学归纳法的使用范围是什么。 其本质是什么。 两步中哪一步最能说明其本质等等，并给予学生一定的时间思考讨论，之后老师和学生加以小结：（ 1）数学归纳 法主要用来证明与自然数有关的数学命题，其核心是递推思想，就是用有限的步骤替代无限的递推过程；（ 2）第一步是递推的基础，第二步是命题的正确性能否递推下去的保证，它体现的就是递推思想；（ 3）初始值不一定是 n=1，要根据实际情况而定，如改成 n= n0则更具一般性。 理论运用 （ 1）示范性运用 学以致用，学生回答老师板书一起用数学归纳法完成等差数列通项公式的证明，之后回头对证明过程加以分析，进一步深化对递推思想的认识，再一次分解教学上的难点。 同时，对两步在证题中的地位和作用作再一次的分析，让学生深刻认识到两步中 每一步都缺一不可，为此老师还特意安排习题加以验证。 （ 2）反馈练习 老师有目的地安排基础差异明显的两个学生上讲台分别写出自然数前 n项平方和公式的证明过程，并在此间隙对其他学生进行必要的辅导，然后老师和学生一起对前两个学生的答案作出评价，肯定成绩，指出不足，对存在的突出问题和共性问题加以纠正，便于学生对自己的成绩和不足有一个较全面的认识和客观的评价，明确下一步努力的方向。 小结及作业 小结由学生完成，不到的地方老师加以纠正和补充，并强调 递推思想是数学归纳法的实质 运用数学归纳法证题的两步缺一不可，两 者紧密结合，完成从有限到无限的递推过程 第二步中必须用到归纳假设，否则就不是数学归纳法。 作业分为 A 组和 B组，难度不一，以照顾到不同层次的学生。 板书设计如下：。