物理竞赛讲义 力＆物体的平衡

物理竞赛讲义 力＆物体的平衡内容摘要：

1、1第一部分 力物体的平衡第一讲 力的处理一、矢量的运算1、加法表达： + =。 a为“和矢量”。 法则：平行四边形法则。 如图 1 所示。 和矢量大小：c = ，其中 为 和a的夹角。 b和矢量方向： 在 、 之间，和 夹角 = 法表达： =。 a为“被减数矢量” ， 为“减数矢量” ， 为“差矢量”。 ba法则：三角形法则。 如图 2 所示。 将被减数矢量和减数矢量的起始端平移到一点，然后连接两时量末端，指向被减数时量的时量，即是差矢量。 差矢量大小：a = ，其中 为 和 的夹角。 c条直线上的矢量运算是平行四边形和三角形法则的特例。 例题：已知质点做匀速率圆周运动，半径为 R ，周期为 T ，求它在 T 2、 内和在 T 内的平均加速412度大小。 解说：如图 3 所示，A 到 B 点对应 T 的过程，A 到 C 点对应 T 的过程。 这三点的速度矢量分别412设为 、 和。 v据加速度的定义 = 得： = ，= 2由于有两处涉及矢量减法，设两个差矢量 = ， = ，根据三角形法则，1v 中的大小、方向已绘出（ 的“三角形”已被拉伸成一条直线）。 2本题只关心各矢量的大小，显然：= = = ，且： = = ， = 2 = vv以： = = = ， = = =。 28生活动）观察与思考：这两个加速度是否相等，匀速率圆周运动是不是匀变速运动。 答：否；不是。 3、乘法矢量的乘法有两种：叉乘和点乘，和代数的乘法 3、有着质的不同。 叉乘表达： = a称“矢量的叉积” ，它是一个新的矢量。 叉积的大小：c = 中 为 和 的夹角。 意义：a 作成的平行四边形的面积。 a直 和 确定的平面，并由右手螺旋定则确定方向，如图 4 所示。 显然， ，但有： = aa 点乘表达： = c 称“矢量的点积” ，它不再是一个矢量，而是一个标量。 点积的大小：c = 中 为 和 的夹角。 a点力的合成1、平行四边形法则与矢量表达式2、一般平行四边形的合力与分力的求法余弦定理（或分割成 合力的大小正弦定理解方向三、力的分解31、按效果分解2、按需要正交分解第二讲 物体的平衡一、共点力平衡1、特征：质心无加速度。 2、条件： = 0 ，或 4、= 0 ， = 0Fx图 5 所示，长为 L 、粗细不均匀的横杆被两根轻绳水平悬挂，绳子与水平方向的夹角在图上已标示，求横杆的重心位置。 解说：直接用三力共点的知识解题，几何关系比较简单。 答案：距棒的左端 L/4 处。 （学生活动）思考：放在斜面上的均质长方体，按实际情况分析受力，斜面的支持力会通过长方体的重心吗。 解：将各处的支持力归纳成一个 N ，则长方体受三个力（G 、f 、N ）必共点，由此推知，N 不可能通过长方体的重心。 正确受力情形如图 6 所示（通常的受力图是将受力物体看成一个点，这时， N 就过重心了）。 答：不会。 二、转动平衡1、特征：物体无转动加速度。 2、条件： = 0 ，或 M 5、 + =M - M如果物体静止，肯定会同时满足两种平衡，因此用两种思路均可解题。 3、非共点力的合成大小和方向：遵从一条直线矢量合成法则。 作用点：先假定一个等效作用点，然后让所有的平行力对这个作用点的和力矩为零。 第三讲 习题课1、如图 7 所示，在固定的、倾角为 斜面上，有一块可以转动的夹板（ 不定） ，夹板和斜面夹着一个质量为 m 的光滑均质球体，试求： 取何值时，夹板对球的弹力最小。 解说：法一，平行四边形动态处理。 4对球体进行受力分析，然后对平行四边形中的矢量 G 和 它们构成一个三角形，如图8 的左图和中图所示。 由于 G 的大小和方向均不变，而 增大导致 2 的变化和 方向变化如图 8 的 6、右图所示。 显然，随着 增大，N 1 单调减小，而 大小先减小后增大，当 直 ，N 2 取极小值，且 二，函数法。 看图 8 的中间图，对这个三角形用正弦定理，有：= ，即：N 2 = ， 在 0 到 180之间取值，N 2 的极值讨论是很容易的。 = 90时，甲板的弹力最小。 2、把一个重为 G 的物体用一个水平推力 F 压在竖直的足够高的墙壁上，F 随时间 t 的变化规律如图 9所示，则在 t = 0 开始物体所受的摩擦力 f 的变化图线是图 10 中的哪一个。 解说：静力学旨在解决静态问题和准静态过程的问题，但本题是一个例外。 物体在竖直方向的运动先加速后减速，平衡方程不再适用。 如何避开牛顿第二定 7、律，是本题授课时的难点。 静力学的知识，本题在于区分两种摩擦的不同判据。 水平方向合力为零，得：支持力 N 持续增大。 物体在运动时，滑动摩擦力 f = N ，必持续增大。 但物体在静止后静摩擦力 f G ，与 N 没有关系。 对运动过程加以分析，物体必有加速和减速两个过程。 据物理常识，加速时，f G ，而在减速时 f G。 答案：B。 3、如图 11 所示，一个重量为 G 的小球套在竖直放置的、半径为 一轻质弹簧的劲度系数为 k ，自由长度为L（L2R） ，一端固定在大圆环的顶点 A ，另一端与小球相连。 环静止平衡时位于大环上的 B 点。 试求弹簧与竖直方向的夹角。 5解说：平行四边形的三个矢量总是可以 8、平移到一个三角形中去讨论，解三角形的典型思路有三种：分割成直角三角形（或本来就是直角三角形） ；利用正、余弦定理； 利用力学矢量三角形和某空间位置三角形相似。 本题旨在贯彻第三种思路。 分析小球受力矢量平移，如图 12 所示，其中 F 表示弹簧弹力，N 表示大环的支持力。 （学生活动）思考：支持力 N 可不可以沿图 12 中的反方向。 （正交分解看水平方向平衡不可以。 ）容易判断，图中的灰色矢量三角形和空间位置三角形 以：胡克定律：F = k（ - R） 几何关系： = 2 解以上三式即可。 答案：。 )L（学生活动）思考：若将弹簧换成劲度系数 k较大的弹簧，其它条件不变，则弹簧弹力怎么变。 环的支持力怎么 9、变。 答：变小；不变。 （学生活动）反馈练习：光滑半球固定在水平面上，球心 O 的正上方有一定滑轮，一根轻绳跨过滑轮将一小球从图 13 所示的 A 位置开始缓慢拉至 B 位置。 试判断：在此过程中，绳子的拉力 T 和球面支持力 N 怎样变化。 解：和上题完全相同。 答：T 变小， N 不变。 4、如图 14 所示，一个半径为 R 的非均质圆球，其重心不在球心 O 点，先将它置于水平地面上，平衡时球面上的 A 点和地面接触；再将它置于倾角为 30的粗糙斜面上，平衡时球面上的 B 点与斜面接触，已知A 到 B 的圆心角也为 30。 试求球体的重心 C 到球心 O 的距离。 解说：练习三力共点的应用。 6根据在平面上 10、的平衡，可知重心 C 在 线上。 根据在斜面上的平衡，支持力、重力和静摩擦力共点，可以画出重心的具体位置。 几何计算比较简单。 答案： R。 3（学生活动）反馈练习：静摩擦足够，将长为 a 、厚为 b 的砖块码在倾角为 的斜面上，最多能码多少块。 解：三力共点知识应用。 答：。 根等长的细线，一端拴在同一悬点 O 上，另一端各系一个小球，两球的质量分别为 已知两球间存在大小相等、方向相反的斥力而使两线张开一定角度，分别为 45 和 30，如图 15 所示。 则 说：本题考查正弦定理、或力矩平衡解静力学问题。 对两球进行受力分析，并进行矢量平移，如图 16 所示。 首先注意，图 16 中的灰色三角形是等腰三角形 11、，两底角相等，设为。 而且，两球相互作用的斥力方向相反，大小相等，可用同一字母表示，设为 F。 对左边的矢量三角形用正弦定理，有：= 5右边的矢量三角形，有： = 0两式即可。 答案：1 ：。 2（学生活动）思考：解本题是否还有其它的方法。 答：有将模型看成用轻杆连成的两小球，而将 O 点看成转轴，两球的重力对 O 的力矩必然是平衡的。 这种方法更直接、简便。 应用：若原题中绳长不等，而是 l 2 = 3 ：2 ，其它条件不变，m 1与 解：此时用共点力平衡更加复杂（多一个正弦定理方程） ，而用力矩平衡则几乎和“思考”完全相同。 答：2 ：3。 5、如图 17 所示，一个半径为 R 的均质金属球上固定着 12、一根长为 L 的轻质细杆，细杆的左端用铰链与墙壁相连，球下边垫上一块木板后，细杆恰好水平，而木板下面是光滑的水平面。 由于金属球和木板之间有摩擦（已知摩擦因素为 ） ，所以要将木板从球下面向右抽出时，至少需要大小为 F 的水平拉力。 试问：现要将木板继续向左插进一些，至少需要多大的水平推力。 解说：这是一个典型的力矩平衡的例题。 以球和杆为对象，研究其对转轴 O 的转动平衡，设木板拉出时给球体的摩擦力为 f ，支持力为 N ，重力为 G ，力矩平衡方程为：f R + N（ R + L）= G（R + L） 球和板已相对滑动，故：f = N 解可得：f = )(再看木板的平衡，F = f。 同理，木板插 13、进去时，球体和木板之间的摩擦 f= = F。 G答案：。 第四讲 摩擦角及其它一、摩擦角1、全反力：接触面给物体的摩擦力与支持力的合力称全反力，一般用 R 表示，亦称接触反力。 2、摩擦角：全反力与支持力的最大夹角称摩擦角，一般用 m 表示。 此时，要么物体已经滑动，必有： m = 为动摩擦因素） ，称动摩擦力角；要么物体达到最大运动趋势，必有： s（ s 为静摩擦因素） ，称静摩擦角。 通常处理为 m = 3、引入全反力和摩擦角的意义：使分析处理物体受力时更方便、更简捷。 二、隔离法与整体法1、隔离法：当物体对象有两个或两个以上时，有必要各个击破，逐个讲每个个体隔离开来分析处理，称隔离法。 在处理各隔离 14、方程之间的联系时，应注意相互作用力的大小和方向关系。 2、整体法：当各个体均处于平衡状态时，我们可以不顾个体的差异而讲多个对象看成一个整体进行分析处理，称整体法。 应用整体法时应注意“系统” 、 “内力”和“外力”的涵义。 三、应用1、物体放在水平面上，用与水平方向成 30的力拉物体时，物体匀速前进。 若此力大小不变，改8为沿水平方向拉物体，物体仍能匀速前进，求物体与水平面之间的动摩擦因素。 解说：这是一个能显示摩擦角解题优越性的题目。 可以通过不同解法的比较让学生留下深刻印象。 法一，正交分解。 （学生分析受力列方程得结果。 ）法二，用摩擦角解题。 引进全反力 R ，对物体两个平衡状态进行受力分析，再进行矢量平移，得到图 18 中的左图和中间图（注意：重力 G 是不变的，而全反力R 的方向不变、 F 的大小不变） ，。