物理竞赛讲义 曲线运动 万有引力

物理竞赛讲义 曲线运动 万有引力内容摘要：

1、奥赛培训讲义曲线运动 万有引力1第四部分 曲线运动 万有引力第一讲 基本知识介绍一、曲线运动1、概念、性质2、参量特征二、曲线运动的研究方法运动的分解与合成1、法则与对象2、两种分解的思路a、固定坐标分解（适用于匀变速曲线运动）建立坐标的一般模式沿加速度方向和垂直加速度方向建直角坐标；提高思想根据解题需要建直角坐标或非直角坐标。 b、自然坐标分解（适用于变加速曲线运动）基本常识：在考查点沿轨迹建立切向 、法向 n 坐标，所有运动学矢量均沿这两个方向分解。 动力学方程 ，其中 改变速度的大小（速率） ， 改变速度的方向。 且 = 其中 表示轨迹在考查点的曲率半径。 定量解题一般只涉及法向动力学方程。 2种 2、典型的曲线运动1、抛体运动（类抛体运动）关于抛体运动的分析，和新课教材“平跑运动”的分析基本相同。 在坐标的选择方面，有灵活处理的余地。 2、圆周运动匀速圆周运动的处理：运动学参量 v、n、a、f、T 之间的关系，向心力的寻求于合成；临界问题的理解。 变速圆周运动：使用自然坐标分析法，一般只考查法向方程。 四、万有引力定律1、定律内容2、条件a、基本条件b、拓展条件：球体（密度呈球对称分布）外部空间的拓展 的吸引等效于位于球心的质量为球的质量的质点对质点 A 的吸引；球体（密度呈球对称分布）内部空间的拓展“剥皮法则”r 的一质点 r 的球的质量相等且位于球心的质点对质点 A 的吸引；球壳（密度呈球对称 3、分布）外部空间的拓展 的吸引等效于位于球心的质量为球壳的质量的质点对质点 A 的吸引；球体（密度呈球对称分布）内部空间的拓展 的吸引力都为零；奥赛培训讲义曲线运动 万有引力2并且根据以为所述，由牛顿第三定律，也可求得一质点对球或对球壳的吸引力。 c、不规则物体间的万有引力计算分割与矢量叠加3、万有引力做功也具有只与初末位置有关而与路径无关的特征。 因而相互作用的物体间有引力势能。 在任一惯性系中，若规定相距无穷远时系统的万有引力势能为零，可以证明，当两物体相距为 P = G 普勒三定律天体运动的本来模式与近似模式的差距，近似处理的依据。 六、宇宙速度、天体运动1、第一宇宙速度的常规求法2、从能量角度求 4、第二、第三宇宙速度万有引力势能 G 天体运动的本来模式时，应了解椭圆的数学常识第二讲 重要模型与专题一、小船渡河物理情形：在宽度为 d 的河中，水流速度 定。 岸边有一艘小船，保持相对河水恒定的速率 船头的方向可以选择。 试求小船渡河的最短时间和最小位移。 模型分析：小船渡河的实际运动（相对河岸的运动）由船相对水流速度 水相对河岸的速度 以设船头与河岸上游夹角为 （即 方向） ，速度矢量合成如图 1（学生活动）用余弦定理可求 v 合 的大小v 合 = 生活动）用正弦定理可求 v 合 的方向。 令 v 合 与河岸下游夹角为 ，则= 渡河的时间与最短时间由于合运动合分运动具有等时性，故渡河时间既可以根据合 5、运动求，也可以根据分运动去求。 针对这一思想，有以下两种解法解法一： t = 合v 合 可用正弦定理表达，故有 t = = 线运动 万有引力3解法二： t = = = 1d合静力学正交分解的思想，我们也可以建立沿河岸合垂直河岸的坐标 x、y，然后先将 v 2 无需分解） ，再合成，如图 2 所示。 而且不难看出，合运动在 x、y 方向的分量 x、y 方向的分量 v 1y 以及 有以下关系 y 方向的分量 d ，故有解法三： t = = = y1)函数既已得出，我们不难得出结论当 = 90时，渡河时间的最小值 1“解法三”我们最容易理解 t 为什么与 关，故 与 关。 这个结论是意味深长的。 ）2、求渡 6、河的位移和最小位移在上面的讨论中，小船的位移事实上已经得出，即S 合 = = = 合 （）函数比较复杂，寻求 S 合 的极小值并非易事。 因此，我们可以从其它方面作一些努力。 将 S 合 沿 x、y 方向分解成 因为 d ，要 S 合 极小，只要 小就行了。 而 ）函数可以这样求解法一： （v 2 - =（v 2 y p ，则 ，再将上式两边平方、整理，得到p0dS(这是一个关于 p 的一元二次方程，要 p 有解，须满足 0 ，即421 )(21赛培训讲义曲线运动 万有引力4整理得 21v(以，S ，代入 ）函数可知，此时 211 21 = 数学味太浓。 结论得出后，我们还不难发现一个问题：当 v2v 7、 1 时，d ，这显然与事实不符。 （造成这个局面的原因是：在以上的运算过程中，方程两边的平方和开方过程中必然出现了增根或遗根的现象）所以，此法给人一种玄乎的感觉。 解法二：纯物理解矢量三角形的动态分析从图 2 可知，S y 恒定，S x 越小，必有 S 合 矢量与下游河岸的夹角越大，亦即 v 合 矢量与下游河岸的夹角越大（但不得大于 90）。 我们可以通过 成 v 合 矢量图探讨 v 合 与下游河岸夹角的最大可能。 先进行平行四边形到三角形的变换，如图 3 所示。 当 变化时，v 合 矢量的大小和方向随之变化，具体情况如图 4 所示。 从图 4 不难看出，只有当 v 合 和虚线半圆周相切时，v 合 8、与 游）的夹角才会最大。 此时，v 合v 1 ，v 1、v 2 和 v 合 构成一个直角三角形， 1并且，此时：= 1 值，结合图 1 可以求出：S 合 v2v 1 时结果不切实际的问题。 从图 4 可以看出，当 v2v 1 时，v 合 不可能和虚线半圆周相切（或 解） ，结合实际情况， 902奥赛培训讲义曲线运动 万有引力5即：v 2v 1 时，S 合 d ，此时， = 2 v1v 2 ，= ，S 合 v2v 1 ，= ，S 合 轮小船物理情形：如图 5 所示，岸边的汽车用一根不可伸长的轻绳通过定滑轮牵引水中的小船，设小船始终不离开水面，且绳足够长，求汽车速度 小船速度 大小关系。 模型分析：由于 9、绳不可伸长，滑轮右边绳子缩短的速率即是汽车速度的大小 考查绳与船相连的端点运动情况， 有一个运动的合成与分解的问题。 （学生活动）如果恒定，说明理由；若变化，定性判断变化趋势。 结合学生的想法，介绍极限外推的思想：当船离岸无穷远时，绳与水的夹角趋于零，v 2v 1。 当船比较靠岸时，可作图比较船的移动距离、绳子的缩短长度，得到 v2v 1。 故“船速增大”才是正确结论。 故只能引入瞬时方位角 ，看 瞬时关系。 （学生活动）v 1和 否可以考虑用运动的分解与合成的知识解答。 针对如图 6 所示的两种典型方案，初步评说甲图中 越靠岸， 越大，v 2 越小，和前面的定性结论冲突，必然是错误的。 错误的根源分析： 10、和试验修订本教材中“飞机起飞”的运动分析进行了不恰当地联系。 仔细比较这两个运动的差别，并联系“小船渡河”的运动合成等事例，总结出这样的规律合运动是显性的、轨迹实在的运动，分运动是隐性的、需要分析而具有人为特征（无唯一性）的运动。 解法一：在图 6（乙）中，当我们挖掘、分析了滑轮绳子端点的运动后，不难得出：船奥赛培训讲义曲线运动 万有引力6的沿水面运动是 运动，端点参与绳子的缩短运动 随绳子的转动 v 转 ，从而肯定乙方案是正确的。 即：v 2 = 元法。 从考查位置开始取一个极短过程，将绳的运动和船的运动在图 7（甲）中标示出来，绳的初识位置，绳的末位置，在 点，D。 显然，图中船的位移大小，于过程极 11、短，等腰三角形 顶角 A0，则底角90，此三角放大成图 7（乙） ，得出：S 2 = 鉴于过程极短，绳的缩短运动和船的运动都可以认为是匀速的，即：S 2 = v2 t ，S 1 = v1 t。 所以：v 2 = 抛运动的最大射程物理情形：不计空气阻力，将小球斜向上抛出，初速度大小恒为 方向可以选择，试求小球落回原高度的最大水平位移（射程）。 模型分析：斜抛运动的常规分析和平抛运动完全相同。 设初速度方向与水平面夹 角，建立水平、竖直的 x、y 轴，将运动学参量沿 x、y 分解。 针对抛出到落回原高度的过程0 = t + （t 21 x = 抛射角 = 45时，最大射程 生活动）若 确定，试用两种方 12、法求小球到达的最大高度。 运动学求解考查竖直分运动即可；能量求解注意小球在最高点应具备的速度 然后对抛出到最高点的过程用动能定理或机械能守恒。 结论：H m =。 、物体脱离圆弧的讨论奥赛培训讲义曲线运动 万有引力7物理情形：如图 8 所示，长为 L 的细绳一端固定，另一端系一小球。 当小球在最低点时，给球一个 2 的水平初速，试求所能到达的最大高度。 自然坐标分析变速圆周运动的典型事例。 能量关系的运用，也是对常规知识的复习。 （学生活动）小球能否形成的往复的摆动。 小球能否到达圆弧的最高点 C。 通过能量关系和圆周运动动力学知识的复习，得出：小球运动超过 B 点、但不能到达 C 点（v C ） ，即C 之间的某点脱离圆弧。 （学生活动）小球会不会在 间的某点脱离圆弧后作自由落体运动。 尽管对于本问题，能量分析是可行的（间不可能出现动能为零的点，则小球脱离圆弧的初速度 可能为零） ，但用动力学的工具分析，是本模型的重点在 段，只要小球还在圆弧上，其受力分析必如图 9 所示。 沿轨迹的切向、法向分别建 、后将重力 G 沿 、 n 分解为 量，T 为绳子张力。 法向动力学方程为T + F n = m 0 ，G n0 ，故 v0。 （学生活动：若换一个 段， v = 0 是可能出现的；若将绳子换成轻杆，在 段 v = 0也是可能。