平面的性质、空间两条直线的位置关系

平面的性质、空间两条直线的位置关系内容摘要：

题： ① 若直线 a 、 b 是异面直线， b 、 c 是异面直线， 则 a 、 c 是异面直线； ② 若直线 a 、 b 相交， b 、 c 相交，则 a 、 c 相交； ③ 若 a ∥ b ，则 a 、 b 与 c 所成的角相等； ④ 若 a ⊥ b ， b ⊥ c ，则 a ∥ c . 其中真命题的个数是 __ ______ ． 变式训练 2如图， ① 若 A 1 A 为 b ， CD 为 a ， BC 为 c ， 则 a 、 c 不异面， ∴① 不正确． 主页 ② 若 A 1 A 为 b ， AB 为 a ， A 1 B 1 为 c ， 则 a ∥ c ， ∴② 不正确． 若 AA 1 为 b ， AB 为 a ， AD 为 c ， 则 a ⊥ b ， a ⊥ c ， b ⊥ c ， 且 a 与 c 相交，故 ④ 也不正确． ③ 由异面直线所成角的定义或等角定理知 ③ 正确． 主页 例 3 已知空间四边形 ABCD 中， E 、 H 分别是边 AB 、 AD 的中点， F 、 G 分别是边 BC 、 CD 上的点． ( 1) 求证： BC 与 AD 是异面直线； ( 2) 求证： EG 与 FH 相交． 证明 ( 1) 假设 BC 与 AD 共面，不妨设它们所共平面为 α ，则B 、 C 、 A 、 D ∈ α . ∴ 四边形 ABCD 为平面图形，这与四边形 A BC D 为空间四边形相矛盾 . ∴ BC 与 AD 是异面直线． 空间两条直线的位置关系 主页 ( 2) 如图，连结 AC ， BD ， 则 EF ∥ AC ， HG ∥ AC ， 因此 EF ∥ HG ；同理 EH ∥ FG ， 则 EF G H 为平行四边形． 又 EG 、 FH 是 ▱ E FGH 的对角线， ∴ EG 与 HF 相交． 主页 在长方体 ABCD — A1B1C1D1的 A1C1面 上有一点 P ( 如图所示，其中 P 点不在 对角线 B1D1) 上． (1) 过 P 点在空间作一直线 l ，使 l ∥ 直线 BD ，应该如何作图。 并说明理由； (2) 过 P 点在平面 A1C1内作一直线 m ，使 m 与直线 BD 成 α角，其中 α ∈0 ，π2，这样的直线有几条，应该如何作图。 变式训练 2解 ( 1) 连结 B 1 D 1 ， BD ，在平面 A 1 C 1 内过 P 作直线 l， 使 l ∥ B 1 D 1 ，则 l 即为所求作的直线． 主页 ∵ B1D1∥ BD ， l ∥ B1D1， ∴ l ∥ 直线 BD . 如图 (1) (1) ( 2) 在平面 A 1 C 1 内作直线 m ，使直线 m 与 B 1 D 1 相交成 α 角，∵ BD ∥ B 1 D 1 ， ∴ 直线 m 与直线 BD 也成 α 角，即直线 m 为所求作的直线，如图 ( 2) ．由图知 m 与 BD 是异面直线，且 m与 BD 所成的角 α ∈0 ，π2. 主页 ( 2) 当 α ＝π2 时，这样的直线 m 有且只有一条，当 α ≠π2 时，这样的直线 m 有两条． 主页 (5 分 ) 在正方体 AB CD — A 1 B 1 C 1 D 1 中， E ， F 分别为棱 AA 1 ， CC 1的中点，则在空间中与三条直线 A 1。