物理竞赛讲义 磁场

物理竞赛讲义 磁场内容摘要：

1、奥赛培训讲义磁场1第十部分 磁场第一讲 基本知识介绍磁场部分在奥赛考刚中的考点很少，和高考要求的区别不是很大，只是在两处有深化：a、电流的磁场引进定量计算；b、对带电粒子在复合场中的运动进行了更深入的分析。 一、磁场与安培力1、磁场a、永磁体、电流磁场磁现象的电本质b、磁感强度、磁通量c、稳恒电流的磁场*毕奥对于电流强度为 I 、长度为 导体元段，在距离为 r 的点激发的 “元磁感应强度 ”为 矢量式 d = k ， （d 表示导体元段的方向沿B3为导体元段到考查点的方向矢量） ；或用大小关系式 k 结合安培定则r 2求方向亦可。 其中 k = 07N/应用毕萨定律再结合矢量叠加原理，可以求解任何 2、形状导线在任何位置激发的磁感强度。 毕萨定律应用在“无限长”直导线的结论：B = 2k ；萨定律应用在环形电流垂直中心轴线上的结论：B = 2；2/32)*毕萨定律应用在“无限长”螺线管内部的结论：B = 2 其中 n 为单位长度螺线管的匝数。 2、安培力a、对直导体，矢量式为 = I ；或表达为F小关系式 F = 结合“左手定则”解决方向问题（ 为 B 与 L 的夹角）。 b、弯曲导体的安培力整体合力折线导体所受安培力的合力等于连接始末端连线导体（电流不变）的的安培力。 证明：参照图 9 导体的安培力 导体的安培力 合力为 F，则 F 的大小为奥赛培训讲义磁场2F = )2121= 2121= 的 3、方向，由于 可以证明图 9的两个灰色三角形相似，这也就证明了 F 是垂直 ，再由于 等腰三角形（这个证明很容易） ，故 F 在 的垂足就是 中点了。 证毕。 由于连续弯曲的导体可以看成是无穷多元段直线导体的折合，所以，关于折线导体整体合力的结论也适用于弯曲导体。 （说明：这个结论只适用于匀强磁场。 ）导体的内张力弯曲导体在平衡或加速的情形下，均会出现内张力，具体分析时，可将导体在被考查点切断，再将被切断的某一部分隔离，列平衡方程或动力学方程求解。 c、匀强磁场对线圈的转矩如图 9示，当一个矩形线圈（线圈面积为 S、通以恒定电流 I）放入匀强磁场中，且磁场 B 的方向平行线圈平面时，线圈受安培力将转动 4、（并自动选择垂直 B 的中心轴 因为质心无加速度） ，此瞬时的力矩为M = 增加匝数至 N ，则 M = 转轴平移，结论不变（证明从略） ；线圈形状改变，结论不变（证明从略） ；*磁场平行线圈平面相对原磁场方向旋转 角，则 M = 如图 9明：当 = 90时，显然 M = 0 ，而磁场是可以分解的，只有垂直转轴的的分量 磁场 B 垂直 相对线圈平面旋转 角，则 M = 如图 9明：当 = 90时，显然 M = 0 ，而磁场是可以分解的，只有平行线圈平面的的分量能产生力矩 说明：在默认的情况下，讨论线圈的转矩时，认为线圈的转轴垂直磁场。 如果没有人为设定，而是让安培力自行选定转轴，这时的力矩称为力 5、偶矩。 奥赛培训讲义磁场3二、洛仑兹力1、概念与规律a、 = q ，或展开为 f = 结合左、右手定则确定方向（其中 为 与 的夹f B。 安培力是大量带电粒子所受洛仑兹力的宏观体现。 b、能量性质由于 总垂直 与 确定的平面，故 总垂直 ，只能起到改变速度方向的作用。 结论：洛ffv仑兹力可对带电粒子形成冲量，却不可能做功。 或：洛仑兹力可使带电粒子的动量发生改变却不能使其动能发生改变。 问题：安培力可以做功，为什么洛仑兹力不能做功。 解说：应该注意“安培力是大量带电粒子所受洛仑兹力的宏观体现”这句话的确切含义“宏观体现”和“完全相等”是有区别的。 我们可以分两种情形看这个问题：（ 1）导体静止时，所有粒子 6、的洛仑兹力的合力等于安培力（这个证明从略） ；（2）导体运动时，粒子参与的是沿导体棒的运动 导体运动 合运动，其合速度为 v ，这时的洛仑兹力 f 垂直 v 而安培力垂直导体棒，它们是不可能相等的，只能说安培力是洛仑兹力的分力 合力（见图 9。 很显然，f 1 的合力（安培力）做正功，而 f 不做功（或者说 正功和 负功的代数和为零）。 （事实上，由于电子定向移动速率 105m/s 数量级，而 般都在 102m/s 数量级以上，致使 是 f 的一个极小分量。 ）如果从能量的角度看这个问题，当导体棒放在光滑的导轨上时（参看图 9，导体棒必获得动能，这个动能是怎么转化来的呢。 若先将导体棒卡住，回路 7、中形成稳恒的电流，电流的功转化为回路的焦耳热。 而将导体棒释放后，导体棒受安培力加速，将形成感应电动势（反电动势）。 动力学分析可知，导体棒的最后稳定状态是匀速运动（感应电动势等于电源电动势，回路电流为零）。 由于达到稳定速度奥赛培训讲义磁场4前的回路电流是逐渐减小的，故在相同时间内发的焦耳热将比导体棒被卡住时少。 所以，导体棒动能的增加是以回路焦耳热的减少为代价的。 2、仅受洛仑兹力的带电粒子运动a、 时，匀速圆周运动，半径 r = ，周期 T = vb、 与 成一般夹角 时，做等螺距螺旋运动，半径 r = ，螺距 d = 这个结论的证明一般是将 分解（过程从略）。 v但也有一个问题，如果将 分解 8、（成垂直速度分量 1 ，如图 9示） ，粒子的运动情形似乎就不一样了在垂直 实，在图 9，B 1平行 v 只是一种暂时的现象，一旦受 v 改变方向后就不再平行 子的“圆周运动”就无法达成了。 （而在分解 v 的处理中，这种局面是不会出现的。 ）3、磁聚焦a、结构：见图 9 和 G 分别为阴极和控制极，A 为阳极加共轴限制膜片，螺线管提供匀强磁场。 b、原理：由于控制极和共轴膜片的存在，电子进磁场的发散角极小，即速度和磁场的夹角 极小，各粒子做螺旋运动时可以认为螺距彼此相等（半径可以不等） ，故所有粒子会“聚焦”在荧光屏上的 P 点。 4、回旋加速器a、结构&原理（注意加速时间应忽略）b、磁场与交变 9、电场频率的关系因回旋周期 T 和交变电场周期 T必相等，故 =大速度 = 2场55、质谱仪速度选择器&粒子圆周运动，和高考要求相同。 第二讲 典型例题解析一、磁场与安培力的计算【例题 1】两根无限长的平行直导线 a、b 相距 40过电流的大小都是 向相反。 试求位于两根导线之间且在两导线所在平面内的、与 a 导线相距 10 P 点的磁感强度。 【解说】这是一个关于毕萨定律的简单应用。 解题过程从略。 【答案】大小为 06T ，方向在图9垂直纸面向外。 【例题 2】半径为 R ，通有电流 I 的圆形线圈，放在磁感强度大小为 B 、方向垂直线圈平面的匀强磁场中，求由于安培力而引起的线圈内张力。 【解说】本题有两 10、种解法。 方法一：隔离一小段弧，对应圆心角 ，则弧长 L = R。 因为 0（在图 9，为了说明问题， 被夸大了） ，弧形导体可视为直导体，其受到的安培力 F = 其两端受到的张力设为 T ，则 T 的合力T = 2再根据平衡方程和极限 = 0 ，即可求解 T。 法二：隔离线圈的一半，根据弯曲导体求安培力的定式和平衡方程即可求解【答案】说明如果安培力不是背离圆心而是指向圆心，内张力的方向也随之反向，但大小不会变。 学员思考如果圆环的电流是由于环上的带正电物质顺时针旋转而成（磁场仍然是进去的） ，且已知单位长度的电量为 、环的角速度 、环的总质量为 M ，其它条件不变，再求环的内张力。 奥赛培训讲义磁 11、场6提示此时环的张力由两部分引起：安培力，离心力。 前者的计算上面已经得出（此处 I = = R） ，/2 后者的计算必须应用图 9思想，只是 F 变成了离心力，方程 2T2 = 即。 +。 题 3】如图 9示，半径为 R 的圆形线圈共 在方向竖直的、磁感强度为 B 的匀强磁场中，线圈可绕其水平直径（绝缘）轴 动。 一个质量为 m 的重物挂在线圈下部，当线圈通以恒定电流 I 后，求其静止时线圈平面和磁场方向的夹角。 【解说】这是一个应用安培力矩定式的简单问题，解题过程从略。 【答案】。 、带电粒子在匀强磁场中的运动【例题 4】电子质量为 m 、电量为 q ，以初速度 直磁场进入磁感强度为 B 的匀强磁 12、场中。 某时刻，电子第一次通过图9示的 P 点， 为已知量，试求：（1）电子从 O 到 P 经历的时间；（2）OP 过程洛仑兹力的冲量。 【解说】圆周运动的基本计算。 解题过程从略。 值得注意的是，洛仑兹力不是恒力，故冲量不能通过定义式去求，而应根据动量定理求解。 【答案】 （1） ；（2）2例题 5】如图 9示，S 是粒子源，只能在纸面上的360范围内发射速率相同、质量为 m 、电量为 q 的电子。 一块足够大的挡板，与 S 相距 = L。 它们处在磁感强 、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，试求：（1）要电子能到达挡板，其发射速度至少应为多大。 （2）若发射速率为 ，则电子击打在挡板上的范围怎样。 说】第一问 13、甚简，电子能击打到挡板的临界情形是轨奥赛培训讲义磁场7迹与挡板相切，此时 ；2求得 r = L ，在考查各种方向的初速所对应的轨迹与挡板相交的“最远”点。 值得注意的是，O 点上方的最远点和下方的最远点并不是相对 O 点对称的。 【答案】 （1） ；（2）从图中 O 点上方距 O 点 L 处到 O 点下方距 O 点 L 处的范围内。 题 6】如图 9所示，由加速电压为 U 的电子枪发射出的电子沿 x 方向射入匀强磁场，要使电子经过 x 下方距 O 为 L 且= 的 P 点，试讨论磁感应强度 B 的大小和方向的取值情况。 【解说】以一般情形论：电子初速度 磁感应强度 B 成任意夹角 ，电子应做螺旋运动，半径为 r = ，螺距为 d = ，它们都由 、B 决定（v 0 = 是固定不变的）。 P 点的位置满足 L 、 的要求。 电子运动轨迹的三维展示如图 9所示。 如果 P 点处于（乙图中）螺线轨迹的 置，则 = ，B ；如果 P 点处于 ，B 与 成一般夹角。 解并不难只要解 L = 中 k = 1，2，3，）方程即可；而对后一种情形，要求出 B 的通解就难了，这里不做讨论。 此外，还有一种特解，那就是当 B 时，这时的解法。