定积分与微积分基本定理

定积分与微积分基本定理内容摘要：

数学 第十二节 定积分与微积分基本定理 [ 典例 ] ( 1) ( 2020 山东高考 ) 由曲线 y ＝ x ，直线 y ＝ x － 2 及y 轴所围成的图形的面积为 ( ) A.103 B ． 4 C.163 D ． 6 ( 2) 10 － x 2 ＋ 2 x d x ＝ ________. 解答此类问题 一般先画出图 形分析。 提醒 思考 该式的几何意义是什么。 备考基础 查清 热点命题 悟通 迁移应用 练透 课堂练通考点 课下提升考能 首页 上一页 下一页 末页 结束 数学 第十二节 定积分与微积分基本定理 [ 解析 ] ( 1) 由 y ＝ x 及 y ＝ x － 2 可得 ， x ＝ 4 ， 即两曲线交于点 ( 4,2) ． 由定积分的几何意义可知，由 y ＝ x 及 y ＝ x － 2 及 y 轴所围成的封闭图形面积为 40 ( x － x ＋ 2) d x ＝23x32 －12x2＋ 2 x 40＝163. ( 2) 10－ x2＋ 2 x d x 表示 y ＝ － x2＋ 2 x 与 x ＝ 0 ， x ＝ 1 及 y ＝0 所围成的图形的面积 ． 由 y ＝ － x2＋ 2 x 得 ( x － 1)2＋ y2＝ 1( y ≥ 0) ， 备考基础 查清 热点命题 悟通 迁移应用 练透 课堂练通考点 课下提升考能 首页 上一页 下一页 末页 结束 数学 第十二节 定积分与微积分基本定理 又 ∵ 0 ≤ x ≤ 1 ， ∴ y ＝ － x2＋ 2 x 与 x ＝ 0 ， x ＝ 1 及 y ＝ 0 所围成的图形为14个圆，其面积为π4. ∴ 10－ x2＋ 2 x d x ＝π4. [ 答案 ] ( 1) C ( 2) π4 备考基础 查清 热点命题 悟通 迁移应用 练透 课堂练通考点 课下提升考能 首页 上一页 下一页 末页 结束 数学 第十二节 定积分与微积分基本定理 若将 ( 1) 中 “ y ＝ x － 2 ” 改为 “ y ＝－ x ＋ 2 ” ，将“ y 轴 ” 改为 “ x 轴 ” ，如何求解。 解： 如图所示，由 y ＝ x 及 y ＝－ x ＋ 2 可得x ＝ 1. 由定积分的几何意义可知，由 y ＝ x ， y ＝－ x ＋ 2 及 x 轴所围成的封闭图形的面积 为20f ( x )d x ＝ 10x d x ＋ 21( － x ＋ 2) d x ＝23x32 |10 ＋2 x －x22 |21 ＝76. 备考基础 查清 热点命题 悟通 迁移应用 练透 课堂练通考点 课下提升考能 首页 上一页 下一页 末页 结束 数学 第十二节 定积分与微积分基本定理 [ 类题通法 ] 利用定积分求平面图形面积的四个步骤 ( 1) 画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像； ( 2) 借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ( 3) 把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ( 4) 计算定积分，写出答案． 提醒： 利用定积分求平面图形的面积，一定要找准积分上限、下限及被积函数，当图形的边界不同时，要分情况讨论． 备考基础 查清 热点命题 悟通 迁移应用 练透 课堂练通考点 课下提升考能 首页 上一页 下一页 末页 结束 数学 第十二节 定积分与微积分基本定理 求曲线 y ＝ x ， y ＝ 2 － x ， y ＝－13x 所围成图形的面积． 解： 由 y ＝ x ，y ＝ 2 － x得交点 A ( 1,1) ． 由 y ＝ 2 － x ，y ＝－13x得交点 B (3 ，－ 1) ． 故所求面积 S ＝01x ＋13x d x ＋132 － x ＋13x d x ＝23x32 ＋16x2|10＋2 x －13x2|31＝23＋16＋43＝136. [ 针对训练 ] 备考基础 查清 热点命题 悟通 迁移应用。