带电粒子在有界磁场中运动的临界问题例析

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题例析内容摘要：

30o y v L O P x 30o y v L O P Q C A 图甲 x P L O y v 30o Q C A 图乙 ① ② x 【 解答 】过 P点作末速度所在直线，交 x轴于 Q点， 经分析可知，粒子在磁场中作圆周运动的轨迹的圆心必在 OPQ 的角平分线 QC上，如图甲所示。 设粒子在磁场中作匀速圆周运动的轨道半径为 r，则由牛顿第 二定律，有 2vqvB m r 则 mvrqB ① 由此可知粒子速度越大，其轨道半径越大，由图乙可知，速度 最大的粒子在磁场中运动轨迹的圆心是 y轴上的 C点。 （ 1） 如图丙所示，速度最大时粒子的轨迹圆过 O点、且与 PQ 相切于 A点。 由几何关系有 tan 30OQ L， 1 tan 30r OQ， 可得 1 3Lr ② 由 ① 、 ② 求得 3qBLv m ③ （ 2）将 6qBLv m 代入 ① 式，可得2 6Lr，粒子的运动轨迹是 如图丁所示的 轨迹圆 ② ，该轨迹圆与 x 轴相切于 D 点、与 PQ 相切 于 E 点。 连接 DE，由几何关系可知 23DE r 由于 D 点、 E 点必须在磁场内，即线段 DE 在磁场内，故可知 磁场面积最小时必定是以 DE 为直径（如图丁中 ③ 所示）。 即面积最 小的磁场半径为 12R DE 则磁场的最小面积为 2223 ππ π ()1 2 4 8Ls R L   【例 2】 如图所示，长方形 abcd 的长 ad=，宽 ab=， O、 e分别是 ad、bc 的中点，以 e 为圆心 eb 为半径的圆弧和以 O 为圆心 Od 为半径的圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场 (eb 边界上无磁场 )磁感应强度 B=。 一群不计重力、质量 m=3107kg、电荷量 q=+2103C 的带正电粒子以速度 v=5l02m/s 沿垂直 ad 方向且垂直于磁场射 入 磁场区域，则下列判断正确的是（ ） A. 从 Od 边射入的粒子，出射点全部分布在 Oa 边 B. 从 aO 边射入的粒子，出射点全部分布在 ab 边 C. 从 Od 边射入的粒子，出射点分布在 ab 边 D. 从 ad 边射人的粒子，出射点全部通过 b 点 【 提示 】 本题是带电粒子在有界磁场中运动的临界问题六大类型之五： 已知初速度的大小（即已知轨道半径大小）和方向，但入射点不确定 .这类问题的特点是： 所有轨迹圆的圆心均在将入射点组成的边界沿垂直入射速度方向平移一个半径距离的曲线上。 【 解答 】 所有进入磁场的粒子的入射点均在 dOb 线上， 将该曲线垂直速度向上平移一个半径 mvrqB后得到曲线 Oaf，此即所有粒子在磁场中做圆周运动的圆心所在曲线 ， 在该曲线上从下到上取点作为圆心 、图丙 L y 30o v O Q C A P ① x P y 30o x ② L O ③ 图丁 A v C Q D E mvr qB 为 半径 作一系列轨迹圆，其中 ① 为从 d 点射入粒子的轨迹（圆心在 O 点）， ② 为从 O 点射入粒子的轨迹（圆心在 a点）， ③ 为从 a 点射入粒子的轨迹，从 d、 O之间入射粒子在磁场中转过 1/4圆周后沿 eb边界 作直线运动最终汇聚于 b 点， 从 O、 a 之间入射粒子先作直线运动再进入磁场做圆周运动，由作图易知这些粒子也汇聚于 b 点。 【答案】 D 【例 3】 如图所示，现有一质量为 m、电量为 e 的电子从 y轴上的 P（ 0， a）点以初速度 v0平行于 x轴射出，在 y轴右侧 某一圆形区域 加一垂直于 xoy平面向里匀强磁场，磁感应强度大小为 B. 为了使电子 能从 x 轴上的 Q（ b， 0）点 射出磁场。 试求 满足条件的 磁场的最小面积，并求出该磁场圆圆心的坐标。 【 提示 】 本题是带电粒子在有界磁场中运动的临界问题六大类型之六： 已知初速度方向（所在直线）和出射点，但入射点不确定 .这类问题的特点是： 所有轨迹圆的圆心均在 “以初速度所在直线为准线、出射点为焦点的抛物线 ”上。 【解答】 本题中，电子初速度所在直线已知，电子进入磁场的入射点在该直线上，则可知电子在磁场中作圆周运动的轨迹圆与该直线相切、且经过 Q点，所以电子轨迹圆圆心到该直 线和到 Q 点的距离相等，即电子轨迹圆圆心在以该直线为准线、 Q 点为焦点的抛物线上。 在该抛物线上从左向右去不同点为圆心，做出一些列轨迹圆，可以看出所有这些轨迹中轨迹 ① 所需圆形磁场的直径最小。 【答案】 2π41a ，（ b,2a ） f f ① ② f ③ ① 练习 【练习 1】 两平面荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为 x 轴和 y 轴，交点 O为原点， 如图所示。 在 y0， 0xa 的区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，在 y0， xa的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为 B。 在 O 点处有一小孔，一束质量为。