倒立摆系统毕业设计

倒立摆系统毕业设计内容摘要：

1 页 共 32页 11 g=。 l=。 q=(M+m)*(l+m*l^2)(m*l)^2。 %simplifies input num=[m*l/q 0 0] den=[1 b*(l+m*l^2)/q (M+m)*m*g*l/q b*m*g*l/q 0] kd=20 kp=1000 ki=1 numPID=[kd kp ki]。 denPID=[1 0]。 numc=conv(num,denPID) denc=polyadd(conv(denPID,den),conv(numPID,num)) t=0::5。 step(numc,denc,t) Polyadd 函数内容 如下： function[poly]=polyadd(poly1,poly2) if length(pily1)length(poly2) short=poly1。 long=poly2。 else short=poly2。 long=poly1。 end mz=length(long)length(short) if mz0 poly=[zeros(l,mz),short]+long。 else poly=long+short。 end 本科毕业设计说明书（论文） 第 12 页 共 32页 12 通过临界比例法调节 PID 参数对系统进行仿真。 取 pK =1000, iK =1, dK =20，阶跃响应曲线如图。 可以看出，此时系统的稳态及暂态性能都已经比较合适。 图 PID 控制器输出 从以上 matlab 仿真结果来看，对单级小车倒立摆进行 PID 的控制是可行的，且有良好的动态特性及稳态特性。 具有 PID 控制器具有结构简单、稳定性好、可靠性高以及易于工程实现等优点 ,同时具有模糊控制对于倒立摆这种时变、非线性 的的复杂系统有较好的鲁棒性的优点。 现代控制理论在倒立摆平台上的应用 极点配置法 针对直线单级倒立摆系统应用极点配置法设计控制器，这样既可以对摆杆位置加以控制，也可以对小车位置加以控制。 根据式umlxbxmMm lxmgmlI.......2)()( 我们可以推导出倒立摆系统的非线性动力学方程 : 本科毕业设计说明书（论文） 第 13 页 共 32页 13 umM lmMI mlImM lmMI lmxumM lmMI mlmM lmMI gmMmlg22222..22..)()()()()( 上式是两元联立二阶常微分方程，如果取状态变量为： xxxxxxx 4321 即摆杆的角度和速度以及小车的位置和速度四个状态变量。 则系统状态方程为： uM m lmMImlIxM m lmMIglmxxxuM m lmMImlxM m lmMImMmg lxxx221222443212221)()()()()( 将上式写成向量和矩阵的形 式，就成为线性系统的状态方程： BuAxx . .x 是四维的状态向量，而系统矩阵 A 和输入矩阵 B 为下列形式：系统矩阵00010000000010baA ,输入矩阵dcB00.其中参数 a , b, c, d 为下列表达式确定的常数： 2)( )( m MlmMI mMm gla  ，2)( m MlmMI Mlc  222)( m MlmMI glmb ，22)( m MlmMI mlId   选择摆杆的倾斜角度θ 和小车的水平位置 x 作为倒立摆杆 /小车系统的输出，则输出方程为： 本科毕业设计说明书（论文） 第 14 页 共 32页 14 Cxxxxxxy 432101000001 所谓状态反馈，就是用状态向量与一个系数矩阵的积作为控制向量： Kxu ,控制力 u是一个加给小车水平方向的力 u ，状态变量有四个，所以反馈系数是个 1 4阶的矩阵： ][ 4321 kkkkK  ,则系统状态反馈控制力可用状态变量与各自系数 k1 , k2,k3,k4乘积之和的形式表示，即： . xkxkkkxkxkxkxku  ， 状态反馈控制系统的方块图如图 ： 图 状态反馈控制系统框图 极点配置法是以线性系统为对象设计的状态反馈控制器，使闭环控制系统的特征根（极点）分布在指定位置的控制器设计方法 .得到系统矩阵 A 和输入矩阵 B 为：10000010A ,00B ， 矩阵 A 的特征值是方程 0AIs 的根 . 因此，该系统的特征根 41 ss到 分别为： ,0,0 4321  ssss 特征根之一 S3的实部是正值，所以该系统是不稳定的。 由此可知： u =0 时，倒立摆系统是不稳定系统。 对这一不稳定系统应用状态反馈，可使摆杆垂直并使小车处于基准位置，即达到稳定状态 . 在用状态方程表示的系统中，应用状态反馈构成的控制系统的特征根，以矩阵 ( A+ BK)的特征值给出。 系统稳定的充要条件是所有特征值都要处于复平面的左半平面 .矩阵 ( A+ 倒立摆杆 状态变量  . x .x k1 k2 k3 k4 控制力 u + + + + 本科毕业设计说明书（论文） 第 15 页 共 32页 15 BK)的特征方程式 0)(  BKAI s 的根：   000000100000000100000000000004321 kkkkdcbassss 可表示为： 0)()()()( 342313424  kbcadskbcadsdkckasdkcks 适当选择反馈系数 k1， k2， k3， k4，系统的特征根可以取得所希望的值 .把四个特征根λ 1 , λ 2,λ 3,λ 4 设为四次代数方程式的根，则有： 0)( )()( 43214214313243212423114433221343214    s sss 比较上述两式有下列联立方程式： 43213421431432321442314143322131432142)()()(kbcadkbcaddkckadkck 如果给出的 4321 ,  是实数或共轭复数，则联立方程式的右边全部为实数 .据此可求解出实数 4321 , kkkk . 当将特征根指定为下列两组共轭复数时： jj  2,21, 4321  利用方程式可列出关于 4321 , kkkk 的方程组 ， 求解后得： 4321kkkk 则施加在小车水平方向上的控制力： .. xxu   上式给出的状态反馈控制器，可以使处于任意初始状态的系统稳定在平衡状态，即所有的状态变 量 .. , xx ,都可稳定在 0的状态 .这就意味着即使在初始状态或因存在外扰时，摆杆稍有倾斜或小车偏离基准位置，依靠该状态反馈控制也可以使摆杆垂直竖立，使小车 本科毕业设计说明书（论文） 第 16 页 共 32页 16 保持在基准位置 . 一级倒立摆系统是一个不稳定的系统 .控制器的目的是使倒立摆系统动态稳定 ,即保持倒立摆在垂直的位置 ,使小车在外力作用下其位移以较小的误差跟随输入的变化 .由于系统的动态响应主要是由他的极点位置决定的 ,同时容易证明一级倒立摆系统是一个能控而且能观的系统 .通过极配置状态反馈控制器来使系统保持稳定 . 状态反馈控 制方程为： xKKKKKxf ][ 4321 闭环系统的方程为 : xBKABfAxx )(.  选取所期望的闭环极点位置： 4321 , kkkk 根据如下 MATLAB 程序可求得状态反馈增益 K(假设小车的质量为 3 kg ,摆杆的质量为 kg ,摆杆的长度为 m) ,程序如下 : M=3。 m=。 l=。 g=。 A21=(M +m)/M/l*g。 A41=m/M*g。 B21=1/M/l。 B41=1/M。 A=[0 1 0 0。 A21 0 0 0。 0 0 0 1。 A41 0 0 0] B=[0。 B21。 0。 B41] C=[1 0 0 0。 0 1 0 0。 0 0 1 0。 0 0 0 1] D=0 M=[B A*B A^2*B A^3*B]。 J=[(2j*2*sqrt(3)) 0 0 0。 0 (2+j*2*sqrt(3)) 0 0。 0 0 10 0。 0 0 0 10]。 jj=poly(J)。 Phi=polyvalm(poly(J),A)。 K= [0 0 0 1]*(inv(M))*Phi 求得 ： 0]1000,0100,0010,0001[]。 0。 0[],1000,0010[DCBA 本科毕业设计说明书（论文） 第 17 页 共 32页 17 应用 MATLAB 中的 Simulink 设计用极点配置控制的一级倒立摆系统的仿真模型如下图所示。 图中 StateSpace 模块填入了上面程序计算所得的 A ,B ,C,D 值。 然后用 1 个 Bus Selector 输出转角、角速度、位移和速度 4 个量 ,之后用 4 个 Gain(分别输出参数 K(1)K(2)K(3)K(4))和 1个 Sum 构成状态反馈 ,同时用示波器输出转角、角速度、位移和速度 4个量。 如图为 simulink 构成的状态反馈图： simulink构成的状态反馈图 上述状态反馈可以使处于任意初始状态的系统稳定在平衡状态 ,即所有的状态变量都可以稳定在零状态。 这就意味着即使在初始状态或因存在外界干扰时 ,摆杆稍有倾斜或小车偏离基准位置导轨中心 ,依靠该状态反馈控制也可以使摆杆垂直竖立 ,并使小车保持在基准位置。 相对平衡状态的偏移 ,得到迅速修正的程度要依赖于指定的特。