数学与应用数学毕业设计-对称性在积分中的应用

数学与应用数学毕业设计-对称性在积分中的应用内容摘要：

域为 D ,若点 ),( yx D  ),( axay  ，则 D 关于 axy  对称，称点 ),( yx 与 ),( axay  是关于 axy  的对称点 .若点 ),( yx D  ),( xaya  D ，则 D 关于直线 zy  对称） 注释：空间区域关于平行于坐标面的平面对称；平面曲线关于平行于坐标轴的直线对称；平面曲面以平行于坐标面对称，也有以上类似的定义 . 第 9 页 共 19 页 定理 1：设 )(xf 在区间 [ aa, ]上可积： 若 )(xf 为奇函数，则 0)(  dxxfaa。 若 )(xf 为偶函数，则 dxxfdxxf aaa   0 )(2)( 证明（ 1）当 )( xf 为奇函数时：令 tx 则 dxxfaa )(    aaaaaa dxxfdttftdtf )()()()( 所以： 2 dxxfaa )(=0 即 dxxfaa )(=0. 当 )(xf 是偶函数时： dxxfaa )(  0 )(a xf +a xf0 )(    aa dxxftdtf 00 )()()( dxxfdttf aa   00 )()(。 所以 dxxfaa )( 2 a xf0 )(。 例 1：计算 积分   20 cos2 d 解：令 x 则   20 cos2 d     xdxxdx c os2)c os (2 其中 xxf cos2 1)(  为偶函数， 则   20 cos2 d     xdxxdx c os2)c os (2   0 c os22c os2 xdxxdx。 令 tx2tan ，则；   dttttdttttxdx022202220112114112122c os22  323a rc t a n314314 00 2   ttdt。 二重积分的对称性定理 定理 1： 设有界闭区域 21 DDD  , 1D 与 2D 关于 y 或 x 轴对称 .设函数 ),( yxf 在有界闭区域 D 上连续，那么 第 10 页 共 19 页 （ⅰ）若 ),( yxf 是关于 y （或 x ） 的奇函数，则 1),(D dyxf  =0 （ⅱ） 若 ),( yxf 是关于 y （或 x ）的偶函数，则 dyxfD ),(=21),(D dyxf  1(i ， )2 注释： 设函数 ),( yxf 在有界闭区域 D 上连续 （ⅰ）若 D 关于 y 轴对称，则  DDxyxfdyxfyxfdyxf!),(),(2),(,0),(为偶函数关于变量，如果关于变量为奇函数如果 其中 1D 是 D 的右半部分 : 1D = }0|),{(  xDyx （ ii） 若 D关于 x轴对称，则  DDyyxfdyxfyxfdyxf2),(),(2),(,0),(为偶函数关于变量，如果关于变量为奇函数如果 其中 2D 是 D 的上半部分： 2D = }0|),{(  yDyx 定理 2： 设有界闭区域 D 关于 x轴和 y 轴均对称，函数 ),( yxf 在 D 上连续且 ),( yxf关 x 和 y 均为偶函数，则  D D dyxfdyxf 3 ),(4),(  其中 3D 是 D 的第一象限的部分： 3D = }0,0|),{(  yxDyx 定理 3： 则设有界闭区域 D关于原点对称，函数 ),( yxf 在 D 上连续，则    DD Dyxfyxfdyxfdyxfyxfyxfdyxf1 2),(),(,),(2),(2),(),(,0),(如果如果 其中 1D = }0|),{(  xDyx ， 2D = }0|),{(  yDyx 例 1：计算 D xydxdy，其中 D由下列双纽线围成： (1) )(2)( 22222 yxyx  (2) xyyx 2)( 222  解：（ 1）由于 )(2)( 22222 yxyx  围成的区域关于 x轴 y轴均对称，而被积函数 第 11 页 共 19 页 xy 关于 x （或 y 轴）为奇函数 则有 D xydxdy0 （ 2）由 )(2)( 22222 yxyx  围成的区域对称于原点，而被积函数 xy 是关于x ,y 的偶函数 则有 D xydxdy=2 1D xydxdy 由极坐标知  sin,co s ryrx  ，代入 xyyx 2)( 222  得 2sinr 且由 xy 0 ，知 02sin21 2 r 则 20  于是 D xydxdy= 61c os2s i n2 20s in0 3   drrd   定理 4： 设有界闭区域 D关于 xy 对称 , 函数 ),( yxf 在 D 上连续，则 dyxfD ),( =1),(D dyxf  例 2：设函数 f(x) 在 ]1,0[ 上的正值连续函数 证明： )(21)()( )()( badx dyyfxf ybfxafD ，其中 ba, 为常数， 1}yx,0|y){ ( x ,D  证明：∵积分区域 D关于 xy 对称 ∴ dyxfD ),(=D dxyf ),( 设 dx dyyfxf ybfxafI D  )()( )()(由函数关于两个变量 dx dyyfxf ybfxafI D  )()( )()( ，以上两式相 ,得   D badx dybaI )(2 ，从而 )(21 baI  一般地，有以下定理： 定理 5：设有界闭区域 21 DDD  ， 1D 与 2D 关于直线 0:  cbyaxL 对称， 第 12 页 共 19 页 函数 ),( yxf 在 D 上连续，那么： （ⅰ）若 ),( yxf 是关于直线 L 的奇函数，则 dyxfD ),(0 （ⅱ）若 ),( yxf 是关于直线 L 的偶函数，则 dyxfD ),(=21),(D dyxf  1(i ， )2 三重积分 空间对称区域 若对 ,),(  zyx ,),(  zyx 则称空间区域  关于 xoy 面对称，利用相同的方法，可以定义关于另外两个坐标面的对称性。 若对 ,),(  zyx  ),( zyx ，则称空间区域  关于 z 轴对称；利用相同的方法，可以定义关于 另外两个坐标面的对称性。 若对 ,),(  zyx ,),(  zyx 则称  关于坐标原点对称。 空间对称区域上的奇偶函数 设 ),( zyxf 是定义在空间区域  上的三元函数。 若满足关系式 ),(),( zyxfzyxf  ，则称 ,( zyxf 是关于 z 的奇函数；满足关系式),(),( zyxfzyxf  ，则称 ),( zyxf 是关于 z的偶函数。 利用相同的方法，可以定义关于 x 或 y 的奇、偶函数的定义。 若满足关系式 ),(),( zyxfzyxf  ，则称 ),( zxf 是关于 x， y 的奇函数；满足关系式  ),( zyxf ),( zyxf ，则称 ),( zyxf 是关于 x， y 的偶函数。 利用相同的方法可以定义关于 y， z 或 z， x的奇、偶函数的定义。 若满足关系式  ),( zyxf ),( zyxf ,则称 ),( zyxf 是关于 x， y， z 的奇函数；满足关系式  ),( zyxf ),( zyxf ，则称 ),( zyxf 是关于 x， y， z的偶函数。 3 奇偶函数在空间对称区域上的积分 若空间区域  关于 xoy 面对称，则当 f 在  上是 z 的奇函数时， dvzyxf ),(=0；当),( zyxf 在  上是 z 的偶函数时， dvzyxf ),(=2 dvzyxf1 ),(，其中 1 是在 xoy 面 第 13 页 共 19 页 上侧的部分。 若空间区域  关于 z轴对称，则当 ),( zyxf 在  上是 x， y的奇函数时， dvzyxf ),(=0；当 ),( zyxf 在  上是 x， y的偶函数时， dvzyxf ),(=2 dvzyxf1 ),(。