数学与应用数学毕业设计-微积分及其应用

数学与应用数学毕业设计-微积分及其应用内容摘要：

dx ，即xdx 。 于是函数 )(xfy 的微分又可记作 dxxfdy )(39。 。 函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。 因此，导数也叫做微商。 几何意义 设 x 是曲线 )(xfy 上的点 M 的在横坐标上的增量， y 是曲线在点 M 对应 x 在纵坐标上的增量， dy 是曲线在点 M 的切线对应x 在纵坐标上的增量。 当 || x 非常 小时， || dyy 比 || x 要小得多 (高阶无穷小 )，因此在点 M 附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。 多元微分又叫全微分，是由两个自变量的偏导数相对应的一元微分的增量表示的。 )(oyBxAZ  为函数 Z 在点 ),( yx 处的全增量（其中 A、 B不依赖于 x 和 y ，而只与 x、 y 有关， 22 yx  , yBxA  即是 Z在点的全微分。 3 总的来说，微分学的核心思想便是以直 线 代 替 曲 线 ，即在微小的 邻域 内，可以用一段切线段来代替曲线以简化计算过程。 设 )(xF 为函数 )(xf 的一个原函数，我们把函数 )(xf 的所有原函数CxF )( （ C 为任意常数）叫做函数 )(xf 的不定积分。 记作 dxf )(。 其中  叫做积分号， )(xf 叫做被积函数， x 叫做积分变量， dxxf )( 叫做被积式， C 叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。 由定义可知： 求函数 )(xf 的不定积分，就是要求出 )(xf 的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数 )(xf 的一个原函数，再加上任意的常数 C，就得到函数 )(xf 的不定积分。 积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。 在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。 一个函数的不定积分指另一族函数，这一族函数的导函数恰为前一函数 ， 其中： )(])([ 39。 xfCxF  一个实变函数在区间 ],[ ba 上的定积分，是一个实数。 它等于该函数的一个原函数在 b 的值减去在 a的值。 积分从不同的 问题 抽象出来的两个数学概念。 定积分和不定积分的统称。 不定积分是为解决 求导 和微分的逆运算而提出的。 例如：已知定义在区间 I 上的函数 )(xf ，求一条曲线 lxxFy  ),( ，使 得它 4 在每一点的切线斜率为 )()(39。 xfxF 。 函数 )(xf 的不定积分是 )(xf 的全体原函数（见原函数），记作。 如果 )(xF 是 )(xf 的一个原函数，则 ，其中 C 为任意常数。 例如， 定积分是以平面图形的面积问题引出的。 )(xfy 为定义在 ],[ ba 上的函数，为求由 0,  ybxax 和 )(xfy 所围图形的面积 S，采用古希腊人的穷竭法，先在小范围内以直 线 代 替曲 线 ，求出 S 的近似值，再取极限得到所求面积 S，为此，先将 ],[ ba分成 n 等分： bxxxa n  ...10 ，取 ],1[ ii xxi  ，记 1 iii xxx ，则 np 为 S 的近似值，当 n 时， np 的极限应可作为面积 S。 把这一类问题的思想方法抽象出来，便得定积分的概念：对于定义在 ],[ ba 上的函数 )(xfy ，作分划 bxxxa n  ...10 ，若存在一个与分划及],1[ ii xxi  的取法都无关的常数 I，使得 ,其中则称 I 为 )(xf 在 ],[ ba上的定积分， 表为即 称 ],[ ba 为积分区间， )(xf 为被积函数， a， b分别称为积分的上限和下限。 当 )(xf 的原函数存在时，定积分的计算可转化为求 )(xf 的不定积分：这是 c 牛顿莱布尼兹公式。 微积分的发展 微积分的产生是数学上的伟大创造。 它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。 如今，微积分已是广大科学工作 者以及技术人员不可缺 少的工具。 微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期。 早在古希腊时期，欧多克斯提出了穷竭法。 这是微积分的先驱，而我国庄子的《天下篇》中也有“一尺之锤，日取其半，万世不竭”的极限思想，公元 263 年，刘徽 的 《九间算术》作 5 注时提出了“割圆术”，用正多边形来逼近圆周。 这是极限论思想的成功运用。 积分概念是由求某一些面积、体积和弧长引起的，古希腊数学家阿 基米德在《抛物线求积法》中求出抛物线弓形的面积，人没有用极限，是“有限” 开工的穷竭法， 但阿基米德的贡献真正成为积分学的萌芽。 微分是联系到对 曲线作切线的问题和函数的极大值、极小值问题而产生的。 微分方法的第一个真正值得注意的先驱工作起源于 1629 年费尔玛陈述的概念，他给同了如何确定极大值和极小值的方法。 其后英国剑桥大学三一学院的教授巴罗又给出了求切线的方法，进一步推动了微分学概念的产生。 前人工作终于使牛顿和莱布尼茨在 17 世纪下半叶各自独立创立了微积分。 1605 年 5 月 20 日，在牛顿手写的一面文件中开始有“流数术”的记载，微积分的诞生不妨以这一天为标志。 牛顿关于微积分的著作很多写于 1665 1676年间，但这些著作发表很迟。 他完整地提出 微积分是一对互逆运算，并且给出换算的公式，就是后来著名的牛顿 莱而尼茨公式。 如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。 微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。 从 17 世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。 6 整个 17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分枝还是牛顿和莱布尼茨。 微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微分的互逆关系。 最后一步是由牛顿、莱布尼兹完成的。 前两阶段的工作，欧洲的大批数学家一直追朔到古希腊的阿基米德都作出了各自的贡献。 对于这方面的工作，古代中国毫不逊色于西方，微积分思想在古代中国早有萌芽，甚至是古希腊数学不能比拟的。 公元前 7 世纪老庄哲学中就有无限可分性和极限思想；公元前 4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小 、无穷大 的定义和极限、瞬时等概念。 刘徽公元 263 年首创的割圆术求圆面积和方锥体积，求得圆周率约等于 3 .1416，他的极限 思想和无穷小方法，是世界古代极限思想的深刻体现。 微积分思想虽然可追朔古希腊，但它的概念和法则却是 16 世纪下半叶，开普勒、卡瓦列利等求积的不可分量思想和方法基础上产生和发展起来的。 而这些思想和方法从刘徽对圆锥、圆台、圆柱的体积公式的证明到公元 5 世纪祖恒求球体积的方法中都可找到。 北宋大科学家沈括的《梦溪笔谈》独创了“隙积术”、“会圆术”和“棋局都数术”开创了对高阶等差级数求和的研究。 从微积分成为一门学科来说，是在 17世纪，但是，微分和积分的思想早在古代就已经产生了。 公元前 3 世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米 德的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有微积分的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、 7 螺线下的面积和旋转双曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。 作为微积分的基础极限理论来说，早在我国的古代就有非常详尽的论述，比如庄周所著的《庄子》一书中的“天下篇”中，著有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。 三国时期的高徽在他的割圆术中提出“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”。 他在 1615 年《测量酒桶体积的新科学》一书中，就把曲线看成边数无限增大的直线形。 圆的面积就是无穷多 的三角形面积之和，这些都可视为黄型极限思想的佳作。 意大利数学家卡瓦列利在 1635 年出版的《连续不可分几何》，就把曲线看成无限多条线段（不可分量）拼成的。 这些都为后来的微积分的诞生作了思想准备。 由于 16世纪以后欧洲封建社会日趋没落，取而代之的是资本主义的兴起，为科学技术的发展开创了美好前景。 到了 17世纪，有许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述问题做了大量的研究工作。 笛卡尔 1637 年发表了《科学中的正确运用理性和追求真理的方法论》（简称《方法论》），从而确立了解析几何，表明了几何问题不仅可以归结 成为代数形式，而且可以通过代数变换来发现几何性质，证明几何性质。 他不仅用坐标表示点的位置，而且把点的坐标运用到曲线上。 他认为点移动成线，所以方程不仅可表示已知数与未知数之间的关系，表示变量与变量之间的关系，还可以表示曲线，于是方程与曲线之间建立起对应关系。 此外，笛卡尔打破了表示体积 8 面积及长度的量之间不可相加减的束缚。 于是几何图形各种量之间可以化为代数量之间的 关系，使得几何与代数在数量上统一了起来。 笛卡尔就这样把相互对立 的“数”与“形”统一起来，从而实现了数学史的一次飞跃，而且更重要的是它为微积分的成熟提供了 必要的条件，从而开拓了变量数学的广阔空间。 3 微积分在几何中的应用 求平面图形的面积 直角坐标情形 设曲线 )0()(  xfy 与直线 )(, babxax  及 x 轴所围曲边梯形面积 为 A ,取 x 为积分变量 ,则 xxfA d)(d  ，则 此 面积为xxfA ba d)( ， 面积为 xxfxfA ba d)()( 21  例 1. 计算两条抛物线 22 , xyxy  在第一象限所围 图形的面积。 解 : 由 22xy xy得 交 点 )1,1(,)0,0( ，   xxxAA dd 210    0133132 23 xx  31 例 2. 计算抛物线 xy 22 与直线 4xy 所围图形的面积。 解 : 由  422 xy xy 得交点 )4,8(,)2,2(  为简便计算 , 选取 y 积分变量 , 则有 yy。