信息计算科学毕业设计

信息计算科学毕业设计内容摘要：

()nTx在 [1,1] 中恰有 n 个不同的实根。 21cos ,2k kx n k=1,2 n ( ) c o s( a rc c o s( ))nT x n x =0  arccos( )nx=k 2 ， 1,2k。  arccos()x = 212kn  ，  21c o s ( ) , 1 , 22kx k nn  性质 6： ()nTx在区间 [1,1] 中 有 n+1 个点 c o s , 0 ,1, ,k kx k nn 轮流取到最大值 1 和最大值 1。 显 然 我 们 把 cosk kx n 代入 ()nTx 中，()nkTx = cos ( arccos ( ))knx=(1)k 性质 7： 当 n 为奇数时 ()nTx为奇数函数，当 n 为偶数时 ()nTx为偶函数。 事实上这是显然的： ()nTx = cos( arccos( ))nx = c os ( a rc c os ( ))n n x  =(1)n cos( arccos )nx 上海大学毕业设计 (论文 ) 11 ( ) c os( a r c c os( ) )nT x n x =( 1) ( )n nTx ， n 为奇数时， ()nTx为奇函数 n 为偶函数时， ()nTx为偶函数。 性质 8： 契比晓夫多项式是 [1,1] 上带权211 x 的正交多项式。 1 2 0 .51 ( ) ( ) (1 )mnT x T x x d x  ， 1 2 0 .51 ( ) ( ) (1 )mnT x T x x d x  = 1211c o s ( a r c c o s ) c o s ( a r c c o s ) 1n m x d xx  021c o s c o s c o s ( s in ) 1 c o sx n m d     =0 cos cosm n d    当 m=n= 0 时 ，  当 m=n 0 时， 2 当 m n 时， 0 即为 [1,1] 上带权211 x 的正交多项式。 重要定理：在 [1,1] 上，首项系数为 1 的一切 n 次多项式 ()nPx中，1()() 2nn nTxWx 对 0 的偏差最小。 即1 1 1 1( ) 0 ( ) 0m a x m a xnnxxW x P x        证明： 假设存在一个 n 次的首项系数为 1 的多项式 ()nPx比 ()nWx对 0 的偏差更小。 11 1 1 1( ) 0 ( ) 0 2m a x m a x nnnxxP x W x         ，在性质 6 中我们知道， ()nTx在[1,1] 中 在 c o s , 0 ,1, ,k kx k nn n+1 个交错点组处轮流取到的他的最大上海大学毕业设计 (论文 ) 12 值 1 与最小值 1。 所以在 c o s , 0 ,1, ,k kx k nn 处，1()() 2nn nTxWx 轮流取得最大值 12n 与 最小值 12n。 我们得到不等式： 00( ) ( ) 0nnP x W x 11( ) ( ) 0nnP x W x 22( ) ( ) 0nnP x W x 所以对于 ( ) ( )nnP x W x 在 c o s , 0 ,1, ,k kx k nn 共有 n+1 个点轮流取正负号，所以我们不难通过罗尔定理得出 ( ) ( )nnP x W x 在 [1,1] 中至少有 n 个 互异的 实根。 但由于 ()nPx， ()nWx都是首项系数为 1 的 n 次多项式，故 deg（ ( ) ( )nnP x W x ） n1，现在我们知道 ( ) ( )nnP x W x 有 n 个不相同的实根，故 ( ) ( ) 0nnP x W x，即 ( ) ( )nnP x W x ，那显然与先前只假设矛盾。 故我们可以得到一个什么之精彩的结论： 所有在区间 [1,1] 首项系数为 1 的 n 次多项式 ()nPx，满足其最大绝对值 111max ( ) 2 nnx Px     第二章：最大多项式 多项式的无穷范数 ： 这是我们全文出现的第一个高潮， 我们先回到前面 的 Chebyshev 多项式 ( ) c os( a r c c os( ) ) , 0 , 1 ,nT x n x n[ 1,1]x 上海大学毕业设计 (论文 ) 13 我们已经知道1()() 2nn nTxWx 是在所有区间在 [1,1] 首项系数为 1 的 n次多项式 ()nPx中内取到最小的最大值 12n ，在这里我们可以亲切地称多项式1()() 2nn nTxWx 为在单位区间 [1,1] 上 n 次首一多项式中最小的多项式。 论 文 绪 论 部 分 中 提 到 的 7 5 37 7 7 7( ) ,4 8 6 4T x x x x x    就是7 5 37 6 5( ) 2 ( ) ( ) 6 4 1 1 2 5 6 7T x x T x T x x x x x     “单位化”而得到的。 其最大值就是 172 = 164 非常小。 在图上几乎看不出来。 顾名思义喂最小之多项式。 知道了什么的多项式叫最小的多项式那么自然我们对于多项式就要首先明白什么叫做多项式的大。 在绪论中另一个多项式显然看起来比 7()Tx “大” 得多。 我们自然先要引出一个无比重要的概念。 对于 任何 一个多项式 p（ x）。 我们 用： [ 1 ,1 ] 11m a x ( )xd efine p p x    来定义多项式 p（ x） 的无穷范数。 也就是对多项式的大小有了一个定量的估计。 起初我们为了研究的需要对多项式做了一些合理的规定，接下来所要考虑的多项式 ()px 是实系数的多项式且其所有的根都是在 [, ]ab 上的。 并且他们互不相等，且 ( ) ( ) 0p a p b，满足 ab=0。 多项式其根的互异性是一个很自然 的假设起点， Chebyshev 多项式 （事实上整个正交多项式函数族）满足这种合理的需要。 最近有关这些函数这方面有趣且有用的结果都可在【 1,2,3,5,12】找到。 另外一个非常重要的事实，我们对多项式的根 ， 做这样的限制是为了使多项式在被 某 种意义下被“固定”住。 因为如果没有任何的限制，显然我们总能使多项式的无穷范数尽可能的大，要多大有多大只要我们想那样做的话。 稍后我们会突破 多项式其 根 全部是实根的限制，讨论在单位 复 圆盘上的多项式的相关课题。 上海大学毕业设计 (论文 ) 14 多项式其根的拖动（扰动） 一个非常漂亮的定理 关于一个实系数都是相异的实根多项式临界点的是我们的开始的地方。 在【 1】中有非常非常详细的讨论，安德鲁 先生 证明了多项式根拖动的一些定理 ： 如果我们对实系数都是相异的实根的多项式的一些内部的根在一个方向上进行移动，每个被移动的根的距离都不超过  ，那么多项式所有的临界点都会向右方移动，并且移动的最大距离都少于 。 在 仅仅拖动一个具体的根的时候对 被拖动前的多项式和被拖动后的新多项式 进行比较后发现在原先的多项式和拖动后形成的新多项式的关系中发现了一些比较有趣的现象和性质。 下图 2 中很生动形象的表示了拖动前后新老多项式的性态变化。 当然，我们最重要的是比较它们各自极值的变化。 图 2 就是两个五次的多项式 ， 他们其他四个根没有什么变换，其中有一个根 x=0 是被拖到了 x=。 我们最终发现，他是在 一个根被拖动的情况下，被拖动前的原多项式的极大极小值反而比拖动后的小。 即拖动后的新多项式是获得了更大的尺度。 上海大学毕业设计 (论文 ) 15 性质 1.：设1( ) ( ),niip x x r这里的 1 2 3 ,nr r r r   为其多项式的相异的实根，在他们其中选一个内部的根，称他为 ,( )ir i d dr ，我们把他向右拖动  个单位， 其中  满足 10 ddrr   。 那么拖动后得到的新的多项式 ( ) ( ) ( ) ,ididp x x r x r    那么1( ) ) ,niip x x r与( ) ( ) ( ) ,ididp x x r x r     有下列一些关系。 a． 如果 x 1dr ，那么这里 ()px ()px （ 当且仅当在他们的公共。