小波分析在数字图像处理中的应用研究本科毕业设计

小波分析在数字图像处理中的应用研究本科毕业设计内容摘要：

，事实上，在函数变化较快的地方需要较窄的窗口。 而在变化较慢的地方需要较宽的窗口。 如何构造一种随原函数的频率变化而变化的窗口函数，这从理论上要求将 Fourier 变换的核函数与窗口函数蹂合在一起考虑，这样就导致了小波的产生 [2]。 潍坊学院本科毕业设计（论文） 4 第二章 小波分析简介 小波变换的定义 从第一章的分析知道，小波分析是对 Fourier 分析的重要补充和改善。 因此，小波变换的定义应满足这样的条件 :小波基尽可能由少数的几个函数生成。 理想的小波基应是紧支的。 类似于 Fourier 分析，小波分析主要 由两个变换构成，即连续小波变换和离散小波变换。 连续的小波变换的形式化定义最早由 Morlet 和Grossman 提出。 设 ()x 为变换的核函数，函数 2( ) ( )f x L R 的连续小波变换定义为 ： 12( ) ( , ) ( ) ( )xR xbW f a b a f x da    （ 21） 其中，核函数 ()x 要满足的下面的容许条件。 定义 :设函数 2( ) ( )x L R  满足 ：  2ˆ () wRwCdw   （ 22） 则称 ()x 为基小波。 （ ）式称为容许条件。 小波变换的性质 当基函数 ()x 满足容许条件时，离散的小波变换将 2()LR映射到 2()lR。 即 若令 ： 2, , 0 ,( ) , ( ) ( )mm n m n m n xTf f a f x x d  （ 23） 则   2,( ) ( )mnTf l R （ 24） 通常 T 的逆不存在。 如果存在常数 0A,B ，使得 222, ,mnm n ZA f f B f   （ 25） 则 函数族  , :,mn m n Z  称为一个框架。 以建立从小波系数重建原函数的数学方法。 特别地， ,2( ) , ( )m n m nf x f x Rab    （ 26） 潍坊学院本科毕业设计（论文） 5 其中， R 为余项， ( 1)BR o fA。 一般而言，小波函数族是相关的。 如果函数族  , :,mn m n Z 是线性独立的，则称  , :,mn m n Z 为正交小波基。 若 , , , ,m n l k m l n k    （ 27） 则称为规范正交基。 （ 1） 消失矩性质 由小波变换的定义知，小波函数 ()x 满足 ( ) 0R x 。 一般地，若对于所有0 km (m为非负整数 )，均有 ( ) 0k xR x x d  （ 28） 而 1 ( ) 0m xR x x d  （ 29） 则称 ()x 的消失矩为 m。 小波函数均有非负的消失矩。 消失矩越大，则基于这样的小波所对应的函数分解对信号压缩越有利。 因为一般函数都可以由多项式函数逼近 (Taylor 定理 )，消失矩性质表明了，次数不大于 m 的多项式在小波分解后，对应的分支都归于零。 (2)正交性质 设 ()x 为小波函数，  :m mZ  构成一组规范正交基。 并设 , m n m nfd  （ 210） 若同时还有重构关系 ,( ) ( )m n m nmnf x d x （ 211） 则 ()x 称为正交小波。 若,( ) ( )m n m nmnf x d x，但存在函数示 ˆ()x ，使得对于任意的 2( ) ( )f x L R ，若 , , , ,ˆˆ, , ,m n m n m n m nf d f d则 , , , , ˆˆ( ) ( ) ( )m n m n m n m nm n m nf x d x d x    （ 212） 则称  ,ˆ :,mn m n Z  为  , :,mn m n Z  对偶基，原小波基  , :,mn m n Z  称为双正交小波基 (或半正交小波基 )。 正交小波在信号分解时，具有独立性，对于提取信号的特征以便进行模式识别很有用。 (3)紧支撑性质 和对称性 潍坊学院本科毕业设计（论文） 6 设 ()x 为小波函数，如果它的支集 sup( )有限，则称 ()x 为紧支撑小波。 紧支撑小波变换可以刻画信号的局部特征，这对于分析和描述突变信号很有用。 如果小波函数为对称的或反对称的，则对应的小波基称为对称小波基。 对称小波基用于小波变换，可以保持重要纹理位置不变。 这对于多尺度边缘检测、或运用多尺度方法进行目标跟踪有利。 常用的小波有 Mexican hat 小波 ， Meyer 小波， Morlet 小波，三次 B 样条小波，Daubechies 小波和 Simoncelli 小波等。 这些小波都为正交小波，且具有紧支集。 不同小波在刻画信号或图像的属性时存在差异，如 Morlet 小波用于纹理图像的分割较好。 而 Mexican hat 小波更适合于直边物体的分割。 小波分析具有的方向性对纹理分类不利，但对于图象分割却是优点。 Daubechies 构造出的系列小波 {Dn}中，D0(Haar)可用于刻画不连续性， D4 可用于检测一阶导数的不连续性， D8 可用于检测二阶导数的不连续性，等等。 遗憾的是，除 Haar 小波外，同时具有紧支性和正交性的小波将肯定不具有对称性。 在有些应用中，希望小波基在具有紧支集的前提下，仍然具有正交性和对称性。 这时，可以用双正交小波。 小波多分辨分析 在数字信号或数字图像处理领域，一般将离散小波的步长取为 2。 即若 ()x 是小波函数，令 2, ( ) 2 ( 2 )m mmn xn  （ 213） 如果它满足稳定性条件 ˆ (2 )jjAB    （ 214） 则称 ()x 是一个二进小波。 此时不论小波是否为正交 2( ) ( )f x L R ，均存在级数表示对任何 ,( ) ( )j k j kjkf x d x （ 215） 对于每个 j，令  2 ,() :j j kLRW clo s k Z （ 216） 即 jW 是由  , :,jk j k Z  线性张成的闭子空间。 (2. 16)式表明，空间 2()LR能够分解为子空间 jw 的直接和。 即 ： 潍坊学院本科毕业设计（论文） 7 2 1 0 1( ) . . . . . . . .jjZL R W W W W       （ 217） 在此意义下，对每个 2( ) ( )f x L R ，都有一个分解 1 0 1( ) .. . ( ) ( ) ( ) .. .f x g x g x g x     （ 218） 其中 , ()jjg x W ，对所有 jz 成立。 定义： 2()LR中的闭子空间序列  kkzV 称为形成一个 (二进 )多分辨分析，若  kkzV 满足 : (1)  kkzV 是一个嵌套序列，即 1 0 1...... ...... ..V V V    (2)所有 kV 的并在 2()LR中是稠密的，即2 2()( ) ( )kLRclos U V L R (3)所有 kV 的交是零空间，即 0kkzV (4) 1( ) ( 2 ) ,。 kkf x V f x V k Z    (5) 1( ) ( ) ,2kkkf x V f x V k Z    ), 并 且 ， 存 在 2()LR的 一 个 函 数 ()x 使得 0, ( ) ( ) :n x x n n Z  是 0V 的一个 Riesz 基，即  20 () ( ) :LRV c lo s x n n Z  且存在常数 0 AB   ，使对所有双无限平方和序列 nC ，有    2222()n n nllnA c c x n B c    （ 219） 此时称 ()x 为对应于基小波 ()x 的尺度函数。 设 ()x 为基小波，令  2 ,() :j j kLRW clo s k Z 21......k k kV W W   （ 220） 则有 1 ,k k kV V W k Z   。 若 存 在 2()LR 中 的 一 个 函 数 ()x ， 使 得 族 0, ( ) ( ) :n x x n n Z  是 0V 的一个 Riesz 基，则 kV 满足上述定义的所有条件。 于是，由小波函数可生成一个多分辨分析。 尺度函数 ()x 与小波函数 ()x 存在两尺度关系 : ( ) (2 )kkx P x k   （ 221） ( ) ( 2 )kx q x k   （ 222） 及分解关系  2( 2 ) ( ) ( )l k l z kkx l a x k b x k        lZ （ 223） 潍坊学院本科毕业设计（论文） 8 其中 1( 1)kkkqp 11,22k k k ka p b q 用 0()x 表示 ()x ， 1()x 表示 ()x ，两尺度关系可以重写为 00( ) ( 2 )kkx p x k   （ 224） 10( ) ( 2 )kkx q x k   （ 225） 在 此基础上，定义 2 ( ) ( 2 )l k lkx p x k   （ 226） 2 ( ) ( 2 )l k lkx q x k   （ 227） 则函数族  ( ) : 2 , 2 1 , 0 , 1. .....n x n l or l l   称为关于尺度函数 ()x 的小波包。 本课题 不在此陈述函数 ()x 生成一个多分辨分析的条件。 这里着重指 出，多分辨分析的定义，以及小波函数 ()x 所满足的上述条件，为构造小波函数提供了一种思路，同时也为小波变换的算法实施提供了一种思路。 即小波函数可以通过尺度函数构造，小波变换可以通过多分辨分析的方法逐层进行。 小波分析的算法 小波分析的算法主要包括两个方面 :生成小波基的算法和基于小波基的函数分解和重构算法。 由上面的分析知，小波基由小波母函数经平移和伸缩构成。 而母函数由可以由尺度向量构成。 因此生成一组小波基的关键是找到一个尺度向量以及由尺度向量生成小波向量的 算法。 由尺度函数生成小波函数 由多分辨分析可以导出基于二进小波的尺度函数和小波函数之间的关系。 设nh 为尺度向量， ng 为对应的小波向量。 由基于两尺度关系的多分辨分析可导出如下关系 : 1( 1)nnngh 或 12( 1)nn n ngh   （ 228） 其中， 2N为尺度向量的支撑区间的长度。 许多小波函数由样条 函数构造出来的。 由样条函数构造出的二进小波函数可以表示成尺度函数的导数。 这在多尺度边缘检测中很有用。 由二进小波的定义，二进小波在对信号分解时，将原信号分解为波长相等的两个分支。 设分解后的高频部分和低频部分分别为 g(x)和 h(x)，他们所代表的频带宽度各占一半。 下一次的分解总是对低频部分 h(x)再进行频带的二分之一分解。 有时希望对信号进行小波变换后得到的分支所代表的频带宽度不是原来的二分之一，而是三分之一或五分之一。 这是的小波变换称为多进小波。 设。