第22章一元二次方程全章导学案

第22章一元二次方程全章导学案内容摘要：

A. x－ m=0 B. x－ n=0 C. x－ n=0 或 x－ m=0 D. x－ n=0 且 x－ m=0 3．若 2 463 mma  与 2ma 是同类项，则 m的值为 （ ） A. 2 B. 3 C. 2 或 3 D. － 2 或 － 3 4．关于 x的方程 ax(x－ b)－ (b－ x)=0 (a≠0)的根为（ ） A． a或 b B. 1a 或 b C. 1a 或 b D. a或 － b 5．方程 22 3 0xx的根是 ______________。 个性化导学案 启迪思维 点拨方法 开发潜能 直线提分 15 6．方程 2 4 5 0xx  的根是 ___________。 7．用因式分解法解下列方程： 222( 1 ) ( 1 ) 2( 1 ) 0。 ( 2 ) ( 1 ) ( 3 ) 1 2。 ( 3 ) 2 ( 4 1 3 ) 7。 ( 4 ) ( 2 1 ) 3( 2 1 ) 2 0x x x xx x x x                      四．应用与拓展 阅读材料：解方程 2 2 2( 1) 5( 1) 4 0xx    ，我们可以将 2 1x  看作一个整体，然后设 2 1x  =y ① ，那么原方程可转化为 2 5 4 0yy  ，解 得 121, 4yy   当 y=1 时， 2 11x ， ∴ 2 2x  ， ∴ 2x  ； 当 y=4 时， 2 14x ， ∴ 2 5x  ， ∴ 5x  ， 故原方程的解为 1 2 3 42 , 2 , 5 , 5x x x x            解答问题： （ 1）上述解题过程中，在由原方程得到方程 ① 的过程中，利用 _______法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想； （ 2）请利用以上知识解方程： 42 60xx   个性化导学案 启迪思维 点拨方法 开发潜能 直线提分 16 一元二次方程的解法（ 5） 学习目标： ； ，灵活选择解方程的方法； ，并和同伴交流，勇于发表自己的观点，从交流中 发现最 优方法，在学习 活动中获得成功的体验。 学习重点： 能根据一元二次方程的结构特点，灵活运用直接开平方法，配方法，公式法及 因 式分解法解一元二次方程 学习难点： 理解一元二次方程解法的基本思想 一． 学前准备 解一元二次方程的基本思路是： 将二次方程化为 ______，即 ______ 一元二次方程主要有四种解法，它们的理论根据和适用范围如下表： 方法名称 理论根据 适用方程的形式 直接开平方法 平方根的定义 配方法 完全平方公式 公式法 配方法 因式分解法 两个因式的积等于 0，那么这两个因式至少有一个等于0 一般考虑选择方法的顺序是： ________法、 ________法、 ______法或 ______法 二． 探究活动 （一） 独立思考 解决问题 解下列方程： 2 2 22( 1 )( 3 ) ( 2 5 )。 ( 2 ) 4 5 0。 ( 3 ) 2 2 1 0。 ( 4 )( 2 ) ( 3 ) 6 6x x x xx x x x                  个性化导学案 启迪思维 点拨方法 开发潜能 直线提分 17 （二） 师生探究 解决问题 通过对以上方程的解法，你能总结出对于不同特点的一元二次方程选择什么样的方法去解了吗。 练习： 选择合适的方法解下列方程 : 22( 1 ) 0。 ( 2 ) ( 2 )( 3 ) 6。 ( 3 ) 4 12 0。 x x x x x x                 三． 自我测试 1．下列方程一定能用直接开平方法解的是（ ） A. 24( 2) 8x    B. 2( 3 2) 10x  C. 22( 5) 1 0x    D. 2xm 2．解方程 22(5 1) 3(5 1)xx  的最适当的方法应是（ ） A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 3．设 a 是方程 2 50xx较大的一根， b 是方程 2 3 2 0xx  较小的一根，那么a+b的值为（ ） A. － 4 B. － 3 C. 1 D. 2 4．已知 223 , 2 5A x x B x x      ，当 A=B时， x的值为（ ） A. x=3 或 x=1 B. x=－ 3 或 x=－ 1 C. x=3 或 x=－ 1 D. x=－ 3 或 x=1 5．方程 23 (2 1) 0x  的解是 ________。 6．已 知 x+y=7 且 xy=12，则当 xy时， 11xy的值等于 ________. 7．用适当的方法解下列方程 222( 1 ) 2 5( 1 ) 6 4 0。 ( 2 ) 2 1 4 0。 ( 3 )( 2 1 ) ( 2 1 ) 3 0。 ( 4 ) 7 3 0。 x x xx x x x x                      个性化导学案 启迪思维 点拨方法 开发潜能 直线提分 18 8．解方程。 2 3 | | 4 0xx   四． 应用与拓展 1． 已知 227 12 0x xy y  ，求 2222x xy yxy的值。 2． 试说明：不论 x,y 为何值， 224 4 6 11x y x y    的值总是负数。 当 x,y 为何值时，这个代数式有最大值，最大值是多少。 个性化导学案 启迪思维 点拨方法 开发潜能 直线提分 19 一元二次方程的根的判别式 学习目标： ； ； ，分析，讨论相互交流，培养与他人交流的能力，通过观察， 分析，感受数学的变化美，激发学生的探求欲望。 学习重点： 用根的判别式 解决实际问题； 学习难点： 根的判别式的发现； 一． 预习思考 1． 请同学们用公式法求解下列方程： 2 2 2( 1 ) 3 2 5 0。 ( 2 )( 2 ) 0。 ( 3 ) 2 0。 x x x x x                2． 把 ______叫做一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a    的根的判别式，常用符号 _____来表示。 3． 一般地，方程 2 0 ( 0)ax bx c a    当 _____时，有两个不相等的实数根；当_______时，有两个相等的实数根；当 _______时，没有实数根，反过来，也成立。 4． 下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ） A. 2 2 1 0xx   B. 2 2 3 0xx   C. 2 2 3 3xx D. 2 4 4 0xx   二．探究活动 （一）独立思考 解决问题 1．求根公式 2 42b b aca   是否对于每一个一元二次方程都适用。 2．进一步观察一元二次方程 2 0 ( 0)ax bx c a     （ 1）当 2 4b ac 0 时， 12xx    （ 2）当 2 4b ac =0 时， 12xx （ 3）当 2 4b ac 0 时，方程 _________. 个性化导学案 启迪思维 点拨方法 开发潜能 直线提分 20 （二）师生探究 合作交流 1．定义：把 2 4b ac 叫做一元二次方程 2 0 ( 0)ax bx c a    的根的判别式，通常用 符号 “ ”表示，即  = 2 4b ac ，一般地，方程 2 0 ( 0)ax bx c a     当  0 时，方程有两个不相等的实数根； 当  =0 时，方程有两个相等的实数根；当  0 时，方程没有实数根。 反过来，同样成立，即 2．小英说： “不解方程 23 2 4 0xx  ”，我也知道它的根的情况，现在你知道她是怎么做的了吧。 那我们也来尝试一下。 例 1：不解方程，判别下列方程根的情况： 2 2 2( 1 ) 2 1 0。 ( 2 ) 2 1 0。 ( 3 ) 2 3 0x x x x x x                 例 2： m为何值时，关于 x的一元二次方程 2 2( 2 1 ) 4 1 0mx m x m    ； （ 1） 有两个相等实数根； （ 2） 有两个不相等的实数根； （ 3） 无实数根。 三． 自我测试 1．方程 x2－ ax+9=0 有两个相等的实数根，则 a=________ 2．关于 x的方程 (m+1)x2－ 2x－ (m－ 1)+0 的根的判别式等于４， m=_________ 3．已知 a、 b、 c是 △ ABC的三条边，且一元二次方程 (a－ b)x2+2(a－ b)－ (b－ c)=0 有两个相等的实数根，试判断 △ ABC的形状 . 个性化导学案 启迪思维 点拨方法 开发潜能 直线提分 21 4．当 m为何值时，（ 1）关于 x的方程 mx2+(2m－ 3)x+(m+2)=0 有两个实数根。 （ 2）关于 x的一元二次方程 mx2+(2m－ 3)x+(m+2)=0 有实数根。 （ 3）关于 x的方程 mx2+(2m－ 3)x+(m+2)=0 有实数根。 四． 应用与拓 展 已知关于 x的方程 2 11 0x p x q  和 2 22 0x p x q  ，且 1 2 1 22( )p p q q，证明：这两个方程中至少有一个实数根。 一元二次方程的根与系数的关系（ 1） 学习目标： ，归纳，猜想根与系数的关系，并证明 成立，使学生理解其理论依据； ； 于探索的精神。 学习重点： 根与系数的关系及推导 学习难点： 正确理解根与系数的关系 一． 学前准备 解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表格中两个解的和与积，它们和原来的方程的系数有什么联系。 个性化导学案 启迪思维 点拨方法 开发潜能 直线提分 22 ⑴ x2 + ２ x = 0 ⑵ x2 + ３ x －４ = 0 ⑶ x2 －５ x + ６ = 0 方程 x1 x2 x1 + x2 x1x2 二． 探究活动 （一）尝试探索，发现规律： 1．若 x x2为方程 ax2+bx+c=0（ a≠0）的两个根，结合上表， 说明 x1+x2与 x1x2与 a、 b、 c有何关系。 请你写出关系式 请用文字语言概括 一元二次方程的两个解的和、积与原来的方程有什么联系。 小结： 1．如果一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a≠0）的两个根是 x1， x2，那么 x1+x2=____， x1x2=____． 2．如果方程 x2+px+q=0（ p、 q为已知常数， p2－ 4ｑ ≥0） 的两个根是 x1， x2，那么 x1+x2=_____，x1x2=________； 以两个数 x1， x2为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是 ____。