第1讲集合与函数的概念

第1讲集合与函数的概念内容摘要：

1)起点的寻找；（ 2）层次的划分，分类时应做到既不重复，又不遗漏。 zhuantitanj iu 》 0 3 专题探究 专题探究 优化思维 【例 1】已知集合 A={（ x， y） |x2+mx－ y+2=0}， B={（ x， y） |x－ y+1=0， 0≤ x≤ 2}，若 A∩ B≠Φ ，求实数 m的取值范围。 【注释】 集合问题与函数、方程和不等式以及与整个中学数学知识有关，要正确运用集合的思想将问题相互转化，特别是数与形、代数与几何之间的转化。 【 强化训练 】集合 A={（ x， y） |y=a|x|}， B={ x|y=x+a} ，若 A∩ B 为单元素集合，试求实数 a的取值范围。 分析：  xay xay || axxa  ||。 于是分情况 0a 与 0a 讨论。 【例 2】已知集合 M={（ x， y） |y= 216 x y≠ 0}与 N={（ x， y） |y=x+a}，若 M∩ N=，求实数 a的取值范围。 【 强化训练 】设 A={（ x， y） ||x|≤ 1， |y|≤ 1}与 B={ x|（ x－ a） 2+（ y－ a） 2≤ 1} ， 若满足 A∩ B≠ φ ，求实数 a的取值范围。 【例 3】已知三集合 A={（ x， y） |x=n， y=an+b， n∈ Z}， B={（ x， y） |x=m， y=3m2+15，m∈ Z}与集合 C={（ x， y） |x2+y2≤ 144}，问是否存在实数 a， b，使得：（ 1） A∩ B≠Φ ；（ 2）（ a， b）∈ C同时成立。 分析：假设存在 a、 b使得⑴成立，得到 a与 b的关系后与 x2+y2≤ 144联立，然后讨论联立的不等式组。 4 解法 1：假设存在 a、 b使得 A∩ B≠Φ 成立，则集合 A={（ x， y） |x=n， y=an+b， n∈ Z}与 B={（ x， y） |x=m， y=3m2+15， m∈ Z}分别对应集合 A1={（ x， y） |y=ax+b， x∈ Z}与 B1={（ x，y） |y=3x2+15， x∈ Z}，于是两集合分别对应于直线 baxy  与抛物线 153 2  xy 至少要有公共点，即方程组   baxy xy 153 2 有解，于是消去 y得 3x2－ ax+15－ b=0，从而依据 3x2－ ax+15－ b=0有解得 Δ =a2－ 12（ 15－ b）≥ 0，即－ a2≤ 12b－ 180…（ 1） 又 a2+b2≤ 144…（ 2），于是由（ 1）与（ 2）得（ b－ 6） 2≤ 0，即 b=6，将 b=6代入（ 1）得 a2≥ 108，再将 b=6 代入（ 2）得 a2≤ 108，于是可得 a=177。 6 3 ，于是将 a=177。 6 3 与 b=6代入方程 3x2+15=ax+b，得 3x2177。 6 3 x+9=0，解得 x=177。 3 Z，此与已知矛盾。 故不存在实数 a， b，使得：⑴ A∩ B≠Φ ；⑵（ a， b）∈ C同时成立。 【点拨】（ 1）解法中“ Δ ≥ 0”，仅是一个方程有解的必要条件，即 Δ ≥ 0只能保证直线与抛物线有公共点，但这个公共点不一定是整数点，进而利用另一个条件可求得 a、 b不能使二曲线的交点为整数点，因此符合题意的 a、 b就不存在了。 （ 2）凡涉及“是否存在”、“是否具有某种性质”等这一类的未定结论的讨论式探索性问题：假定结论成立，进而经过演绎推理，在推导过程中，若出现矛盾。