第五章第一节平面向量的概念及其线性运算

第五章第一节平面向量的概念及其线性运算内容摘要：

BC ， AD ＝23 AB ⇒ AE ＝23AC ＝23b ， BC ＝ AC － AB ＝ b － a . 由 △ A DE ∽△ A B C ，得 DE ＝23BC ＝23( b － a ) ． 又 AM 是 △ A BC 的中线， DE ∥ BC ， 得 DN ＝12DE ＝13( b － a ) ． 又 AM ＝12( AB ＋ AC ) ＝12( a ＋ b ) ． △ ADN ∽△ ABM AD ＝23 AB ⇒ AN ＝23AM ＝13( a ＋ b ) ． 解： CD ＝ AD － AC ＝ 23AB － AC ＝23a － b ， AM ＝12a ＋12b . ∴ AC ＝ AP ＋ PC ＝ AP － CP ＝ λ AM － μ CD 在例 2 题图中， 连结 C 、 D 交 AM 于 点 P ，若 AP ＝ λ AM ， CP ＝ μ CD ，求 λ 、 μ . ＝ λ (12a ＋12b ) － μ (23a － b ) ＝ (λ2－2 μ3) a ＋ (λ2＋ μ ) b . 又 AC ＝ b ， ∴ λ2－2 μ3＝ 0 ，λ2＋ μ ＝ 1 ，解得 λ ＝45，μ ＝35. 即 λ ＝45， μ ＝35. 已知任意平面四边形 A BC D 中， E 、 F 分别是 AD 、 BC 的中点． 求证： EF ＝12( AB ＋ DC ) ． 证明：法一： 如图所示，在四边形 CDE F 中， EF ＋ FC ＋ CD ＋ DE ＝ 0. ① 在四边形 AB F E 中， EF ＋ FB ＋ BE ＋ AE ＝ 0. ② ① ＋ ② 得 ( EF ＋ EF ) ＋ ( FC ＋ FB ) ＋ ( CD ＋ BA ) ＋ ( DE ＋ AE ) ＝ 0. ∵ E 、 F 分别是 AD 、 BC 的中点， ∴ FC ＋ FB ＝ 0 ， DE ＋ AE ＝ 0. ∴ 2 EF ＝－ CD － BA ＝ AB ＋ DC ， 即 EF ＝12( AB ＋ DC ) ． 法二 ： 取以 A 为起点的向量，应用三角形法则求证． ∵ E 为 AD 的中点， ∴ AE ＝12AD . ∵ F 是 BC 的中点， ∴ AF ＝12( AB ＋ AC ) ． 又 AC ＝ AD ＋ DC ， ∴ AF ＝12( AB ＋ AD ＋ DC ) ＝12( AB ＋ DC ) ＋12AD . ∴ EF ＝ AF － AE ＝12( AB ＋ DC ) ． 考点三 共线向量定理的应用 设 e1， e2是两个不共线向量，已知 AB ＝ 2 e1－ 8 e2， CB ＝ e 1 ＋ 3 e 2 ， CD ＝ 2 e 1 － e 2 . ( 1) 求证： A 、 B 、 D 三点共线． ( 2) 若 BF ＝ 3 e1－ ke2，且 B 、 D 、 F 三点共线，求 k 的值． [ 自主解答 ] ( 1) 证明：由已知 得 BD ＝ CD － CB ＝ (2 e 1 － e 2 ) － ( e 1 ＋ 3 e 2 ) ＝ e 1 － 4 e 2 ， ∵ AB ＝ 2 e1－ 8 e2， ∴ AB ＝ 2 BD ， ∴ A 、 B 、 D 三点共线． ( 2) 由 ( 1) 可知 BD ＝ e1－ 4 e2， 且 BF ＝ 3 e1－ ke2， 得 BF ＝ λ BD ， 即 3 e1－ ke2＝ λe1－ 4 λe2 得 λ ＝ 3－ k ＝－ 4 λ，解得 k ＝ 12 ， ∴ k ＝ 12. 解： ∵ A 、 B 、 C 、 D 四点共线． ∴ A 、 B。