第1讲数列的概念与简单表示法

第1讲数列的概念与简单表示法内容摘要：

n 2 － 23 n ， 所以当 n ≥ 2 时， 2 S n － 1 ＝ ( n － 1) a n － 13 ( n － 1) 3 － ( n － 1) 2 － 23 ( n － 1) 两式相减得 2 a n ＝ na n ＋ 1 － ( n － 1) a n － 13 (3 n 2 － 3 n ＋ 1) － (2 n － 1) － 23 ， 整理得 ( n ＋ 1) a n － na n ＋ 1 ＝－ n ( n ＋ 1) ， 考点 即 a n ＋ 1n ＋ 1 － a nn ＝ 1 ， 规律方法 给出 Sn与 an的递推关系，求 an，常用思路是： 一是利用 Sn－ Sn－ 1＝ an(n≥2)转化为 an的递推关系，再求其通项公式； 二是转化为 Sn的递推关系，先求出 Sn与 n之间的关系，再求 an. ( n ＋ 1) a n － na n ＋ 1 ＝－ n ( n ＋ 1) 又 a 22 － a 11 ＝ 1 ， 故数列  a nn 是首项为 a 11 ＝ 1 ，公差为 1 的等差数列， 所以 a nn ＝ 1 ＋ ( n － 1) 1 ＝ n ， 所以 an ＝ n 2 . 【训练 2 】 设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， 数列 { S n } 的前 n 项和为T n ， 满足 T n ＝ 2 S n － n 2 ， n ∈ N * . ( 1 ) 求 a 1 的值 ； ( 2 ) 求数列 { a n } 的通项公式 ． 考点 解（ 1） 令 n ＝ 1 时， T 1 ＝ 2 S 1 － 1 ， 由 an与 Sn的关系求通项 an ∵ T 1 ＝ S 1 ＝ a 1 ， ∴ a 1 ＝ 2 a 1 － 1 ， ∴ a 1＝ 1. （ 2） n ≥ 2 时， T n － 1 ＝ 2 S n － 1 － ( n － 1) 2 ， 则 S n＝ T n － T n － 1 ＝ 2 S n － n 2 － [2 S n － 1 － ( n － 1) 2 ] ＝ 2( S n － S n － 1 ) － 2 n ＋ 1 ＝ 2 a n － 2 n ＋ 1. 因为当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ S 1 ＝ 1 也满足上式， 所以 S n ＝ 2 a n － 2 n ＋ 1( n ≥ 1) ， 【训练 2 】 设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， 数列 { S n } 的前 n 项和为T n ， 满足 T n ＝ 2 S n － n 2 ， n ∈ N * . ( 1 ) 求 a 1 的值 ； ( 2 ) 求数列 { a n } 的通项公式 ． 考点 由 an与 Sn的关系求通项 an 当 n ≥ 2 时， S n － 1 ＝ 2 a n － 1 － 2( n － 1) ＋ 1 ， S n ＝ 2 a n － 2 n ＋ 1( n ≥ 1) ， 两式相减得 a n ＝ 2 a n － 2 a n － 1 － 2 ， 所以 a n ＝ 2 a n － 1 ＋ 2( n ≥ 2) ， 所以 a n ＋ 2 ＝ 2( a n － 1 ＋ 2) ， 因为 a 1 ＋ 2 ＝ 3 ≠ 0 ， 所以数列 { a n ＋ 2} 是以 3 为首项，公比为 2 的等比数列． 所以 a n ＋ 2 ＝ 3 2 n － 1 ， ∴ a n ＝ 3 2 n － 1 － 2 ， 当 n ＝ 1 时也成立， 所以 a n ＝ 3 2 n － 1 － 2. 由递推公式求数列的通项公式 【例 3 】 在数列 { a n } 中， ( 1) 若 a 1 ＝ 2 ， a n ＋ 1 ＝ a n ＋ n ＋ 1 ， 则通项 a n ＝ ________ __ ___ ； ( 2) 见下页 由题意得，当 n ≥2 时， 解（ 1） ( 1) 变形为 a ＋ 1 － a n ＝n ＋ 1 ⇒ 用累加法， 审题路线 即 a n ＝ a 1 ＋ ( a 2 － a 1 ) ＋( a 3 － a 2 ) ＋ … ＋ ( a n － a n － 1 ) ⇒ 得出 a n . a n ＝ a 1 ＋ ( a 2 － a 1 ) ＋ ( a 3 － a 2 ) ＋ … ＋ ( a n － a n － 1 ) ＝ 2 ＋ (2 ＋ 3 ＋ … ＋ n。