数学思维的特征与方法

数学思维的特征与方法内容摘要：

过程，纠正学生作图中存在的问题。 这一上课学生拿出昨天晚上做的那个椭圆，就在屏幕上演示，老师来说一说那画的不好。 然后呢，老师黑板上就打出 PPT 是一个 标准的 椭圆 图形了，然后跟学生就说，椭圆画好了 ，今天我们就来学习椭圆的几何性质。 然后我们还是 看他的学案 ， 你会发现整节课他都是 让学生观察 图形。 介绍 顶点的时候，请同学们继续观察这个椭圆与坐标轴有几个交点 ，其它性质也 全是围绕着这个图来进行。 我们知道解析几何的学科特点是什么呢。 是用代数方法研究几何问题，所以我们在解析几何教学的时候， 无论是介 绍 椭圆性质 或者是双曲线性质，我们都要传授给学生的 学科思维是什么呢。 是怎么样 用 代数的方法，用方程去研究 几何 性质。 而不是依赖图形，所以这节课完全违背了解析几何的基本思想 用代数方法解决几何问题 ,用方程研究椭圆的几何性质，要观察的不应该是图象，应该是方程。 应该让学生看一看， 22125 16xy这个方程有什么特点。 对吧，圆的方程你讲了，直线方程你讲了，相对于这些方程，那么这个曲线方程的特征是什么。 要看的是方程，而绝对不是椭圆。 像椭圆的 对称性，不是靠观察 得出 关于 x 轴对称， 再去证明 关于 x 轴对称，关于 y 轴对称 而应该是 通过方程 寻找 椭圆 的 特点。 其实从这个方程我们就可以看到，你把 x代入方程的左端，方程还是成立， y 也成立， ( , )xy 往里代还是成立。 那么既然有 这样的 代数 性质 ，我们就可以问问学生对应的几何 特征 是什么。 点，( , )xy 、 ( , )xy 、 ( , )xy 都 满足方程 ， 而 (, )xy 这个点显然也在曲线上，这又说明了什么。 所以是从这样 的一个思维，这样的一个角度来研究 对称性，而不是什么去证明对称性。 顶点也是这样的，顶点是什么。 从定义来看，应该是对称轴和曲线的交点，所以你要求顶点坐标那就是点与方程。 然后要求顶点坐标，长轴上的两个顶点 可以由直线 0y 与 椭圆方程去联立 ， 而绝对不是简简单单的就是一个看出那个(5,0) 、 ( 5,0)。 接下来，由 2 016y  ， 可以 得出 x 的范围，由 2 025x  ，得出 y 的范围 ， 然后得出 55x   ， 44y   的时候，我们再让学生去理解 横纵坐标 的范围内 ，这个 矩形应该是这样出来，而不是你画出来的。 所以我觉得 一个老师 如果对一个学科的思想把握不住的话，表面 看 来这节课 不错， 板书，教态，基本功也 都到位，学生的互动，各种理念都可以放上去，但是实际上这是一节差课。 王建彬老师跟我们 说过这么一句话，你要想 看一个老师的水平，就让他上一节解析几何课 就够了，听 15 分钟就能把老师的水平查的一清二楚。 我原来当教研组长的时候， 招聘教师基本都是解析几何课，讲椭圆的性质啊，讲轨迹等等。 我们发现 很多老师其实讲不出东西来，讲的都是那种算的层面的东西，而讲不出这种学科的 思维。 解析几何的教学，就要牢牢抓住用代数的方法解决几何问题这一关键。 四年后 我又听 了这个老师的 解析几何课，那就讲的非常好了，就是他对这门学科完全把握住了，所以一个老师的成长，特别是作为一个数学老师的成长 ，最重要的是 数学素质的修养，对数学本质的挖掘 ， 而说上课生评分挺高 或者怎么样。 说实话，这个课学 生还听不出来呢，学生根本也不知道解析课应该是这样上，还是那样上， 但 是最为老师，必须要知道。 就 像 我们常常教育学生那样：好的学习方法，关键是要动脑筋，勤思考一样，我们作为教师，不能把我们每天的上课看成是机械的、重复性的、简单的体力劳动，而是要研究知识的内在规律，研究教学的内在规律，研究学生的学习规律。 好，那我下面就讲一下解析几何的我的一些想法。 从知识层面上说，现在来看，直线与方程，圆与方程，圆锥曲线，这么三块，思维特征是什么。 解析几何的思维特征是什么呢。 就跟函数思维想法一样，我觉得曲线与方程的思维，应该是解析几何的思维特征。 动点运动形成轨迹，那么在直角坐标系下呢，就需要知道到底形成 了什么样的轨迹，从而就设动点坐标，找到横坐标满足的等量关系方程，再 由方程来判断形成了什么样的 轨迹。 我觉得这是解析几何所面临的问题。 从研究方法来来看，拿到一个几何对象以后，我要进行代数化，要进行代数运算，那么怎么来 完成这个代数化。 其实这一中间的思维过程呢，咱们目前的教学应 该说还是比较粗糙一些，或者说老师讲 得 不是太明确，导致咱们的学生基本上都认为解析几何就是算。 有方 程就联立，就坐标就代入。 是这样一种思维状态。 老师甚至指导 ，像那个大题， 一上去就 就联立，联立算到哪儿不行就算了，赶紧做下一题。 教了 整个 高中的解析几何，最后就落的这么一个下场，解析几何不会想。 我想应该是拿到几何对象，直线圆椭圆曲线这样的几何对象之后， 先研究几何特征， 而这个几何特征可以从几个角度能得到。 那我先从代数化的观点来看，代数化的观点是什么呢。 所以有时候我就拿这样的很简单的问题考学生，比如说， 0( 0)A x B y C A   ，我说直线在这个平面上，我说你还能不能进一步的做一些代数化 ， 学生就什么也看不出来 ， 只能说斜率，交点坐标。 学生觉得其实都已经代数化了。 这反映出什么呢。 学生觉得代数化就是计算， 算斜率， 算 两个轴的交点坐标。 其实如果从几何的角度来看，直线在平面上，直线把平面呢分成了两部分，分成了两个区域。 那么在 0A 的前提下，显然右下区域就是可以用不等式 0Ax By C   来表示，左上区域那就是0Ax By C   ， 这样的一个代数化，完全可以做的。 所以这就反映出我们在进行代数化的这种训练的时候呢，要首先有一个台阶，给学生搭一个台阶，就是你要思考，在你面临问题 中 的几何的东西是什么，而不要上来就想去算。 所以从学生解决这个问题所遇到的障碍，我们就可以看出在学生的头脑中没有一个比较明确的解析几何的方法， 而 这也正是我们教学中要 坚持不懈 强调的，堂堂都要落实的东西。 要落实什么呢。 不是说 把 概念说的一清二楚，背的滚瓜烂熟，不是这些东西，我们要培养学生会想问题，而这个想问题呢，不是泛泛 地 想问题，每个学科都有每个学科的特征，特点，思维方法。 所以我们在每个学科的教育中教给学生怎么想。 所以在这个解析几何的教学中，其实就像跟函数的教学类似，函数研究方法刚才我们谈到，不管是给解析式，还是给图象，你要干吗呢。 要研究性质。 解析几何绝对不是上来就算，而是要研究 几何 特征，从图形，从方程，从数值上去研究几何特点 ，再进行代数化 ， 最后 得出代数集。 高考考察解析几何的时候，往往很关注这门学科的思维特征的，不 会拿解析几何 作为一个送分题，如果咱们说有送分题的话，是要看你对这个学科的理解是不是到位了。 例题 6 直线 21ax by与圆 221xy相交于 ,AB两点，且 AOB 是直角三角形，则点 ( , )Pab 与 (0,1) 的距离最大值 __________。 我们来看一个例子，这是海淀的 10 年的，第一届课标版的高考的海淀 一模文科 第八题。 函数和解析几何两种 思路其实都有意义。 如果用函数 ， 就 是认为这个最值是由坐标产生的， 所以这个距离呢，可以用 a、 b 表达出来， 22( 1)d a b  。 就需要找到 a、 b 的等量关系，得代换，不能两个变量，两个自变量。 他们的等量关系在哪儿呢。 就在第一句话中去找，什么叫做直线和 圆相交于 A、 B 得到直角三角形。 这个时候又回到我们刚才那个图形分析中了， 要分析 几何含义，不要上来就 计算。 别急着用弦长公式， 那么 O 点到 AB 距离，这才是最好用的一个办法 , 12OC AB。 那这样的话， 0 到直线距离不 就是 22 吗。 马上就可以找到一个 a、b 的等量关系。 好，那也就是 22ab，从而找刚才那个解析式，包括定域，自变量的范围都找到了。 用函数的想法就解决了 ， 当然，计算量稍大一点。 但我觉得这个也是我们值得学生掌握的一种代法。 如果要从解析几何的角度来看呢，那我就要找点 A、 B 规律，轨迹。 同样你还是要找 A、 B 满足的等量关系，也就是还是刚才的那个方程， 22ab， 意味着什么呢。 其实就是 a 不就是横坐标，b 不就是纵坐标吗，相当于这个点满足 22 12yx ，是个椭圆。 这时就把这个最值问题产生了又一个代数的一个数值的变化，最后变成一个点的运动的变化 ， 当然就要用到轨迹了。 这 实际上是一个立着的椭圆 ， (0,1) 点也有他的特征了 ， 是椭圆的一个焦点。 所以 椭圆 上的动点到焦点 距离的最大值，或者是最小值都一目了然 了。 所以如果我们的学生经过我们的解析几何的教育教学，能够建立起这种学科的观点，学科的修养的话，这说明他会想一个问题了，他可以从变量的角度想，也可以从一个运动的点去想问题，这就是我们要达到的教学目标。 三、 如何进行有效的观念性教学 真正有意义的教学是观念性的教学。 纵观我们的数学课堂，我认为 数学教学可以分为两类：一类是图解知识的教学。 上这种课的数学教师不能说不努力备课，不钻研教材，但他的教学水平是停留在怎样把课本的概念讲得再清楚一些，让学生记住、会应用，并通过大量的练习让学生掌握。 做这样的老师的学生，很少能够感受到学习数学的快乐。 还 有一类数学课堂是教给学生观念的，这样的数学课能够让学生感受到数学的快乐。 这种快乐是思维的快乐，是逻辑的快乐。 教师的责任不是让学生的数学考试考高分，如果有人这样认为的话，那是对自己为之工作一生的职业的误解，也是对自己存在价值的亵渎。 数学教师要能够帮助学生理解数学的本质，要让 学生学会用数学的思维思考问题，通过你的数学课堂，学生能够为逻辑的力量所折服，所倾倒。 数学考试得高分不是我们教学的目的，让学生真正从内心喜欢思考、喜欢数学、学生的思维具有逻辑性才是我们数学教师存在的价值。 我认为数学教学应该 是“观念性”的 ，我将这种教学称为“观念性的教学”。 学生可能在上课之前没有形成一个很好的观念，或者有一个错误的观念，那么我们必须去 改变。 上一部分，我讲了若干数学知识的教学案例与题型，就是为了让大家感受到数学思维的核心价值。 如何才能进行有效的观念性教学呢。 以下是我总结的几条途径与关键点： 1. 教学 富有意义前提是 为了让 学生能够理解问题 如果上课仅仅是做题，讲解解题过程，而没有讲知识的本质，没有给学生揭示出思维层次的东西，那么学生很难达到对具体知识的深刻理解。 我们的课堂教学不是为了把正确的解题过程或者正确的思想完全“复制”到学生的头脑中。 但是 我们常常看到一些学生的数学学习总是停留在记结论，记公式，套用一些解题的方法，学生对数学概念的理解很浅薄，不深入，看不到数学知识本质的东西，掌握不了数学思考问题的思维方式。 例如在平移变换中仅记住“左加右减”口诀，在三角函数伸缩变换中仅知道 y=sin2x 可以纵坐标不变，横坐标伸长两倍得到y=si。