数列习题及答案

数列习题及答案内容摘要：

1 已知数列 na 满足 ),2(1,1 *1211 Nnnaaaaa nn  ． (1)求数列 na 的通项公式； (2)令 )1,0(5l og1 2 22 1   aaaad nnan，记数列 nd 的前 n 项和为 nS ，若nnSS 2 恒为一个与 n 无关的常数  ，试求常数 a 和  . 1 设函数 xxxf sin2)(  的所有正的极小值点从小到大排成的数列为 nx ． (1)求数列 nx 的通项公式； (2)设 nx 的前 n 项和为 nS ，求 nSsin . 12 19 、 已 知 数 列 na 的前 n 项和为 nS ， 11a ，且))(1()1(22 *1 NnnnSnnS nn  ，数列 nb 满足5),(02 3*12   bNnbbb nnn ，其前 9 项和为 63. (1)求数列 na 和 nb 的通项公式； (2)令nnnnn baabc  ，数列 nc 的前 n 项和为 nT ，若对任意正整数 n ，都有 banTn ,2  ，求 ab 的最小值． 已知函数 xxxxf )296(c osln)(  的导数为 )(/ xf ，且数列 na 满足)(3)6( */1 Nnnfaa nn  ． (1)若数列 na 是等差数列，求 1a 的值； (2)若对任意 *Nn ，都有 02 2  nan 成立，求 1a 的取值范围． 13 参考答案 一、选择题 二、填空题 三、解答题 解：依题意， 230a ， 355a  ，故 1d ，所以 1 1a ，所以 1 ( 1)nan   ，即 2nan ； （ 2）2 1 2 11 1 1 1 1 1 1( 1 )( 2 1 ) ( 2 3 ) 2 2 3 2 1 2 2 1 2 1nnna a n n n n n n           ； 解：（ 1）方程 2 5 6 0xx   的两根为 2,3，由题意得 242, 3aa.设数列 {}na的公差为 d，则 422a a d ，故 12d ，从而1 32a.所以 {}na 的通项公式为1 12nan. （ 2）设 {}2nna的前 n项和为 nS ，由（ 1）知1222nnna n ，则2 3 13 4 1 22 2 2 2n nnnnS     ， 3 4 1 21 3 4 1 22 2 2 2 2n nnnnS     .两式相减得2 3 4 1 21 3 1 1 1 2()2 2 2 2 2 2n nnnS        123 1 1 2(1 )4 4 2 2nnn   所以142 2n nnS . 解：（Ⅰ）由 2,22222 11   nppSSa nnnnnn 22411  pSa ，由 321 , aaa 成等比 得 1p ； （Ⅱ）由 ,)3(2 1nnban pa 可得nn nb 2，nn nT 22221 2  ，132 2222121  nn nT ， 132 22121212121  nnn nT ，12211)211211 nnn nT（ ，nnn nT 2212 1  . 解： (Ⅰ )设数列 {}na 的公差为 d，数列 {}nb 的 公比为 q， 则由 225 2 310,2,bSa b a  得 14 6 10 ,3 4 2 3 2 ,qdd q d       解得 2,2,dq 所以 3 2 ( 1) 2 1na n n    ， 12nnb  ． (Ⅱ )由 1 3a ， 21nan得 ( 2)nS n n， 则 即 2 1 3 2 1 2 4 2( ) ( )n n nT c c c c c c       3 2 11 1 1 1 1[ ( 1 ) ( ) ( ) ] ( 2 2 2 )3 3 5 2 1 2 1 nnn            1 2( 1 4 )1 2 1 1 4 nn   22(4 1)2 1 3 nnn   ． 解： (Ⅰ )设等差数列 na 的公差为 d ,则依题知 0d .由 3 1 52 10a a a  ,又可得 3 5a . 由 2421aa ,得 (5 )(5 ) 21dd  ,可得 2d . 所以 1321a a d   .可得2 1 ( *)Nna n n   ； (Ⅱ )由 (Ⅰ )得 12nnS a n   ，当 2n 时 , 1 2 2( 1 ) 2n n nc S S n n      当 1n 时 , 112cS满足上式，所以 2 ( *)Nn，所 以12 2 2 2n n nnnbc    ，即 12nnb  , 因为 2112 22nnnnbb， 1 4b ，所以数列 nb 是首项为 4 ,公比为 2 的等比数列 . 所以前 n 项和 24 (1 2 ) 2412 n nnT   . 解：（Ⅰ）设2 32nnba，因为21221133 ( 2 1 )3223322nnnn nnanabb aa   = 22( 6 ) ( 2 1 )32nna n na   = 22111323 32nnaa, 所以数列2 3{}2na 是以2 32a即 16 为首项，以 13 为公比的等比数列 . （ Ⅱ ） 由（Ⅰ）得 12 3 1 1 1 12 6 3 2 3nnnnba                 ，即 21 1 32 3 2nna    ， 111,22,n nc nn  n 为奇数 ， n 为偶数， n 为奇数 ， n 为偶数， 12 ,( 2)2,n nnnc  15 由2 2 11 ( 2 1)3nna a n  ，得 12 1 2 1 1 1 53 3 ( 2 1 ) ( ) 62 3 2nnna a n n        ，所以12 1 2 1 1 1 1[ ( ) ( ) ] 6 9 2 ( ) 6 92 3 3 3n n nnna a n n            ， 2 1 2 3 4 2 1 2( ) ( ) ( )n n nS a a a a a a      21 1 12 [ ( ) ( ) ] 6 ( 1 2 ) 93 3 3 n nn          11[1 ( ) ]( 1 )332 6 91 213n nnn       2211( ) 1 3 6 ( ) 3 ( 1 ) 233n n n        显然当 nN 时， 2{}nS 单调递减，又当 1n 时，2 73S＞ 0，当 2n 时，4 89S ＜ 0，所以当 2n 时， 2nS ＜ 0； 22 1 2 2 3 1 5( ) 3 62 3 2nn n nS S a n n       ，同理，当且仅当 1n 时， 21nS ＞ 0， 综上 ，满足 0nS的所有正整数 n为 1和 2． 解：（Ⅰ）∵ 22nnSa ， 当 2n 时， 1122nnSa ，  得， 122n n na a a ，即 12 nnaa（ 2n ）． 又当 n=1 时， 1122Sa，得1 2a ． ∴数列 {}na 是以 2 为首项，公比为 2 的等比数列， ∴数列 {}na 的通项 公式为 12 2 2  nnna . 又由题意知， 1 1b ， 1 2nnbb ，即 1 2 nnbb ∴数列 {}nb 是首项为 1，公差为 2 的等差数列， ∴数列 {}nb 的通项公式为 1 ( 1) 2 2 1     nb n n． （Ⅱ）由（Ⅰ）知， (2 1)2nn， ∴ 2 3 11 2 3 2 5 2 ( 2 3 ) 2 ( 2 1 ) 2            nnnT n n  2 3。