第7课时双曲线(一)

第7课时双曲线(一)内容摘要：

2 a . ∵ 2 a 2 c ， ∴∠ PF1F2＝ 30176。 . ∴ cos30176。 ＝ 2 c 2＋  4 a 2－  2 a 22 2 c 4 a. 整理得， c2＋ 3 a2－ 2 3 ac ＝ 0 ，即 e2－ 2 3 e ＋ 3 ＝ 0 ， ∴ e ＝ 3 . 【答案】 3 例 2 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1) 与已知双曲线 x2－ 4 y2＝ 4 有共同渐近线且经过点 (2,2) ； (2) 渐近线方程为 y ＝ 177。 12x ，焦 距为 10 ； (3) 经过两点 P ( － 3,2 7 ) 和 Q ( － 6 2 ，－ 7) ； (4) 双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为 2 ，且过点 (4 ，－ 10 ) ． 【解析】 (1) 设所求双曲线方程为 x2－ 4 y2＝ λ ，将 (2,2) 代入上述方程，得 22－ 4 22＝ λ ， ∴ λ ＝－ 12. ∴ 所求双曲线方程为y23－x212＝ 1. (2) 设所求双曲线方程为x24－ y2＝ λ ， 当 λ 0 时，双曲线标准方程为x24 λ－y2λ＝ 1 ， ∴ c ＝ 5 λ .∴ 5 λ ＝ 5 ， λ ＝ 5 ； 当 λ 0 时，双曲线标准方程为y2－ λ－x2－ 4 λ＝ 1 ， ∴ c ＝ － 5 λ .∴ － 5 λ ＝ 5 ， λ ＝－ 5 ； ∴ 所求双曲线方程为x220－y25＝ 1 或y25－x220＝ 1. (3) 设双曲线方程为 mx2－ ny2＝ 1. ( m ， n 0) ∴ 9 m － 28 n ＝ 1 ，72 m － 49 n ＝ 1 ，解之得 m ＝－175，n ＝－125. ∴ 双曲线方程为y225－x275＝ 1. (4) 依题意， e ＝ 2 ⇒ a ＝ b .设方程为x2a－y2a＝ 1 ， 则16a－10a＝ 1 ，解得 a ＝ 6. ∴x26－y26＝ 1. 【答案】 (1)y23－x212＝ 1 (2)x220－y25＝ 1 或y25－x220＝ 1 (3)y225－x275＝ 1 (4)x26－y26＝ 1 探究 2 求双曲线的标准方程的方法： (1) 定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定 2 a 、 2 b 或 2 c ，从 而求出 a b2，写出双曲线方程． (2) 待定系数法：先确定焦点在 x 轴还是 y 轴，设出标准方程，再由条件确定 a b2的值，即 “ 先定型，再定量 ” ，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x2m2 －y2n2 ＝ λ ( λ ≠ 0) ，再根据条件求 λ 的值． 注意： ① 双曲线与椭圆标准方程均可记为 mx2＋ ny2＝1( mn ≠ 0) ，其中 m 0 且 n 0 ，且 m ≠ n 时表示椭圆； mn 0 时表示双曲线，合理使用这种形式可避免讨论． ② 常见双曲线设法： ( ⅰ ) 已知 a ＝ b 的双曲线设为 x2－ y2＝ λ ( λ ≠ 0) ； ( ⅱ ) 已知过两点的双曲线可设为 Ax2－ By2＝ 1( AB 0) ； ( ⅲ ) 已知离心率为 e 的双曲线方程可设为 x2a2 －y2 e2－ 1  a2＝ 1 或y2a2 －x2 e2－ 1  a2＝ 1 ； ( ⅳ ) 已知渐近线xm177。 yn＝ 0 的双曲线方程可设为 x2m2 －y2n2 ＝ λ ( λ ≠ 0) ． 思考题 2 (1) (2020 广东 ) 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F (3,0) ，离心率等于32，则 C 的方程是 ( ) A.x24－y25＝ 1 B.x24－y25＝ 1 C.x22－y25＝ 1 D.x22－y25＝ 1 【解析】 由曲线 C 的右焦点为 F (3,0) ，知 c ＝ 3. 由离心率 e ＝32，知ca＝32，则 a ＝ 2 ，故 b2＝ c2－ a2＝ 9 － 4 ＝ 5. 所以双曲线 C 的方程为x24－y25＝ 1.。