第二十二章一元二次方程全章教学设计

第二十二章一元二次方程全章教学设计内容摘要：

（ 20x）（ 322x） =500 整理，得： x236x+70=0 （ 1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有 x 的完全平方式而后二个不具有． （ 2）不能． 既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面， 我们就来讲如何转化： x264x+768=0 移项→ x=264x=768 两边加（ 642） 2 使左边配成 x2+2bx+b2 的形式 → x 264x+322=768+1024 左边写成平方形式 → （ x32） 2= 256 降次→ x32=177。 16 即 x32=16 或 x32=16 解一次方程→ x1=48， x2=16 可以验证： x1=48， x2=16 都是方程的根，所以共有 16 只或 48 只猴子． 学生活动： 例 1． 按以上的方程完成 x236x+70=0 的解题． 老师点评： x236x=70， x236x+182=70+324，（ x18） 2=254， x18=177。 254 ， x18= 254或 x18= 254 ， x1≈34， x2≈ 2． 可以验证 x1≈34， x2≈ 2 都是原方程的根，但 x≈ 34 不合题意，所以道路的宽应为 2． 例 2． 解下列关于 x的方程 （ 1） x2+2x35=0 （ 2） 2x24x1=0 分析：（ 1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（ 2）同上． 解：（ 1） x22x=35 x22x+12=35+1 （ x1） 2=36 x1=177。 6 x1=6， x1=6 x1=7， x2=5 可 以，验 证 x1=7， x2=5 都是 x2+2x35=0 的两根． （ 2） x22x12 =0 x22x=12 x22x+12=12 +1 （ x1） 2=32 x1=177。 62 即 x1= 62 ， x1= 62 x1=1+ 62 ， x2=1 62 可以验证 ： x1=1+ 62 ， x2=1 62 都是方程的根． 三、巩固练习 教材 P38 讨论改为课堂练习，并说明理由． 教材 P39 练习 1 2．（ 1）、（ 2）． 四、应用拓展 例 3． 如图，在 Rt△ ACB 中，∠ C=90176。 ， AC=8m， CB=6m，点 P、 Q 同时由 A， B 两点 出发分别沿 AC、 BC 方向向点 C 匀速移动，它们的速度都是 1m/s， 几秒后△ PCQ 的面积为 Rt△ ACB 面积的一半． BCAQww sx .co P 分析：设 x 秒后△ PCQ 的面积为 Rt△ ABC 面积的一半，△ PCQ 也是直角三角形． 根据已知列出等式． 解：设 x秒后△ PCQ 的面积为 Rt△ ACB 面积的一半． 根据题意，得： 12 （ 8x）（ 6x） =12 179。 12 179。 8179。 6 整理，得： x214x+24=0 （ x7） 2=25 即 x1=12， x2=2 x1=12， x2=2 都是原方程的根，但 x1=12 不合题意，舍去． 所以 2 秒后△ PCQ 的面积为 Rt△ ACB 面积的一半． 五、归纳小结 本节课应掌握： 左边不含有 x 的完全平方形式， 左边是非负数的一元二次方程化为左边是含有 x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程． 六、布置作业 1．教材 P45 复习巩固 2． 2．选用作业设计． 一、选择题 1．将二次三项式 x24x+1 配方后得（ ）． A．（ x2） 2+3 B．（ x2） 23 C．（ x+2） 2+3 D．（ x+2） 23 2．已知 x28x+15=0，左边化成含有 x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）． A． x28x+（ 4） 2=31 B． x28x+（ 4） 2=1 C． x2+8x+42=1 D． x24x+4=11 3．如果 mx2+2（ 32m） x+3m2=0（ m≠ 0）的左边是一个关于 x 的完全平方式，则 m等于（ ）． A． 1 B． 1 C． 1 或 9 D． 1 或 9 二、填空题 1．方程 x2+4x5=0 的解是 ________． 2．代数式 22 21xxx的值为 0，则 x 的值为 ________． 3．已知（ x+y）（ x+y+2） 8=0，求 x+y 的值，若设 x+y=z，则原方程可变为 _______， 所以求出 z 的值即为 x+y 的值，所以 x+y 的值为 ______． 三、综合提高题 1．已知三角形两边长分别为 2 和 4，第三边是方程 x24x+3=0 的解，求这个三角形的周长． 2．如果 x24x+y2+6y+ 2z +13=0，求（ xy） z 的值． 3．新华商场销售某种冰箱，每台进货价为 2500 元， 市场调研表明： 当销售价为 2900元时，平均每天能售出 8 台；而当销售价每降 50 元时，平均每 天就能多售出 4 台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达 5000 元，每台冰箱的定价应为多少元。 答案 : 一、 1． B 2． B 3． C 二、 1． x1=1， x2=5 2． 2 3． z2+2z8=0， 2， 4 三、 1．（ x3）（ x1） =0， x1=3， x2=1， ∴三角形周长为 9（ ∵ x2=1，∴不能构成三角形） 2．（ x2） 2+（ y+3） 2+ 2z =0， ∴ x=2， y=3， z=2，（ xy） z=（ 6） 2= 136 3．设每台定价为 x，则：（ x2500）（ 8+ 290050 x 179。 4） =5000， x25500x+7506250=0，解得 x=2750 配方法 第 2 课时 教学内容 给出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程． 教学目标 了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤． 通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目． 重难点关键 1．重点： 讲清配方法的解题步骤． 2．难点与关键：把常数项移到方程右边后， 两边加上的常数是一次项系数一半的平方． 教具、学具准备 小黑板 教学过程 一、复习引入 （学生活动）解下列方程： （ 1） x28x+7=0 （ 2） x2+4x+1=0 老师点评：我们前一节课，已经学习了如何解左边含有 x 的完全平方形式， 右边是非负数，不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题． 解：（ 1） x28x+（ 4） 2+7（ 4） 2=0 （ x4） 2=9 x4=177。 3 即 x1=7， x2=1 （ 2） x2+4x=1 x2+4x+22=1+22 （ x+2） 2=3 即 x+2=177。 3 x1= 3 2， x2= 3 2 二、探索新知 像上面的解 题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法． 可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解． 例 1．解下列方程 （ 1） x2+6x+5=0 （ 2） 2x2+6x2=0 （ 3）（ 1+x） 2+2（ 1+x） 4=0 分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有 x的完全平方． 解：（ 1）移项，得 ： x2+6x=5 配方： x2+6x+32=5+32（ x+3） 2=4 由此可得： x+3=177。 2，即 x1=1， x2=5 （ 2）移项，得： 2x2+6x=2 二次项系数化为 1，得： x2+3x=1 配方 x2+3x+（ 32 ） 2=1+（ 32 ） 2（ x+ 32 ） 2=54 由此可得 x+ 32 =177。 52 ，即 x1= 52 32 ， x2= 52 32 （ 3）去括号，整理得： x2+4x1=0 移项，得 x2+4x=1 配方，得（ x+2） 2=5 x+2=177。 5 ，即 x1= 5 2， x2= 5 2 三、巩固练习 教材 P39 练习 2．（ 3）、（ 4）、（ 5）、（ 6）． 四、应用拓展 例 2． 用配方法解方程（ 6x+7） 2（ 3x+4）（ x+1） =6 分析：因为如果展开（ 6x+7） 2，那么方程就变得很复杂，如果把（ 6x+7）看为一个数y，那么（ 6x+7） 2=y2，其它的 3x+4=12 （ 6x+7） +12 ， x+1=16 （ 6x+7） 16 ，因此，方程就转化为 y 的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法． 解：设 6x+7=y 则 3x+4=12 y+12 ， x+1=16 y16 依题意，得： y2（ 12y+12）（ 16y16） =6 去分母，得： y2（ y+1）（ y1） =72 y2（ y21） =72， y4y2=72 （ y212） 2= 2894 y212=177。 172 y2=9 或 y2=8（ 舍 ） ∴ y=177。 3 当 y=3 时 ， 6x+7=3 6x=4 x=23 当 y=3 时 ， 6x+7=3 6x=10 x=53 所以 ， 原 方程的根 为 x1=23 ， x2=53 五、归纳小结 本节课应掌握： 配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤． 六、布置作业 P45 复习巩固 3． 一、选择题 1．配方法解方程 2x243 x2=0 应把它先变形为（ ）． A．（ x13 ） 2=89。