新课标人教a版选修2-3教案

新课标人教a版选修2-3教案内容摘要：

412， 413, 421, 423, 431, 432。 同样，问题 2 可以归结为： 从 4 个不同的元素 a, b, c， d 中任取 3 个，然 后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法。 所有不同排列是 abc, abd, acb, acd, adb, adc, bac, bad, bca, bcd, bda, bdc, cab, cad, cba, cbd, cda, cdb, dab, dac, dba, dbc, dca, dcb. 共有 4 3 2=24种 . 树形图如下 a b ｃ ｄ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｄ ａ ｂ ｄ ａ ｂ ｃ 2．排列的概念： 从 n 个不同元素中，任取 m （ mn ）个元素（这里的被取元素各不相同）按照 一定的顺序 ． ． ． ． ． 排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 一个排 ． ． ． 列 ． 奎屯王新敞 新疆 说明： （ 1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列； （ 2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同 奎屯王新敞 新疆 3．排列数的定义： 从 n 个不同元素中，任取 m（ mn ）个元素的所有排列的个数叫做从 n 个元素中取出 m 元素 的 排列数 ，用符号 mnA 表示 奎屯王新敞 新疆注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从 n 个不同元素中，任取 m 个元素按照 一定的顺序 ． ． ． ． ． 排成一列，不是数；“排列数”是指从 n 个不同元素中，任取 m （ mn ）个元素的所有排列的个数， 是一个数 奎屯王新敞 新疆所以符号 mnA 只表示排列数，而不表示具体的排列 奎屯王新敞 新疆 4．排列数公式及其推导： 由 2nA 的意义：假定有排好顺序的 2 个空位，从 n 个元素 1 2, na a a 中任取 2 个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数 2nA ．由分步计数原理完成上述填空共有 ( 1)nn 种填法，∴ 2nA = ( 1)nn 奎屯王新敞 新疆 10 由此，求 3nA 可以按依次填 3 个空位来考虑，∴ 3nA = ( 1)( 2)n n n， 求 mnA 以按依次 填 m 个空位来考虑 ( 1 ) ( 2) ( 1 )mnA n n n n m    ， 排列数公式： ( 1 ) ( 2) ( 1 )mnA n n n n m     （ ,m n N m n） 说明： （ 1）公式特征：第一个因数是 n ，后面每一个因数比它前面一个 少 1，最后一个因数是 1nm，共有 m 个因数； （ 2） 全排列 ：当 nm 时即 n 个不同元素全部取出的一个排列 奎屯王新敞 新疆 全排列数： ( 1 ) ( 2 ) 2 1 !nnA n n n n    （叫做 n 的阶乘 ） 奎屯王新敞 新疆 另外，我们规定 0! =1 . 例 1． 用计算器计算： (1） 410A ； (2） 518A。 (3） 18 1318 13AA . 解：用计 算器可得： 由（ 2 ) ( 3 ）我们看到， 5 18 1318 18 13A A A．那么，这个结果有没有一般性呢。 即 !( ) !nm nn nmnmA nA A n m . 排列数的另一个计算公式： ( 1 ) ( 2) ( 1 )mnA n n n n m     ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( ) 3 2 1( ) ( 1 ) 3 2 1n n n n m n mn m n m            !( )!nnm = nnnmnmAA. 即 mnA = !( )!nnm 奎屯王新敞 新疆 例 2． 解方程： 3 3 2 2126x x xA A A． 解：由排列数公式得： 3 ( 1 ) ( 2) 2( 1 ) 6 ( 1 )x x x x x x x     ， ∵ 3x ，∴ 3 ( 1 ) ( 2) 2( 1 ) 6( 1 )x x x x     ，即 23 17 10 0xx  ， 解得 5x 或 23x ，∵ 3x ，且 xN ，∴原方程的解为 5x ． 11 例 3． 解不等式： 2996xxAA ． 解：原不等式即 9 ! 9 !6(9 ) ! (1 1 ) !xx， 也就是 16( 9 ) ! (1 1 ) (1 0 ) ( 9 ) !x x x x     ，化简得： 2 21 104 0xx  ， 解得 8x 或 13x ，又∵ 29x，且 xN ， 所以，原不等式的解集为  2,3,4,5,6,7 ． 例 4． 求证：（ 1） n m n mn n n mA A A  ；（ 2） ( 2 ) ! 1 3 5 ( 2 1)2!n n nn    ． 证明：（ 1） ! ( ) ! !( ) !m n mn n m nA A n m nnm   nnA，∴原式成立 奎屯王新敞 新疆 （ 2） ( 2 ) ! 2 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 4 3 2 12 ! 2 !nnn n n n       2 ( 1 ) 2 1 ( 2 1 ) ( 2 3 ) 3 12!n nn n n nn        ! 1 3 ( 2 3 ) ( 2 1 )!n n nn   1 3 5 (2 1)n  右边 ∴原式成立 奎屯王新敞 新疆 说明： （ 1）解含排列数的方程和不等式时要注意排列数 mnA 中， ,mn N 且 mn 这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围； （ 2）公式 ( 1 ) ( 2) ( 1 )mnA n n n n m    常用来求值，特别是 ,mn均为已知时，公式 mnA = !( )!nnm，常用来证明或化简 奎屯王新敞 新疆 例 5． 化简：⑴ 1 2 3 12 ! 3 ! 4 ! !n n   ；⑵ 1 1 ! 2 2 ! 3 3 ! !nn       奎屯王新敞 新疆 ⑴解：原式 1 1 1 1 1 1 11!2 ! 2 ! 3 ! 3 ! 4 ! ( 1 ) ! !nn         11 !n ⑵提示：由    1 ! 1 ! ! !n n n n n n     ，得  ! 1 ! !n n n n   ， 原式  1 ! 1n   奎屯王新敞 新疆 说明： 1 1 1! ( 1)! !nn n n ． 第二课时 例 1． (课本 例 2)． 某年全国足球甲级（ A 组 ） 联赛共有 14 个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次， 12 共 进行多少场比赛。 解 ：任意两队间进行 1 次主场比赛与 1 次客场比赛，对应于从 14 个元素中任取 2 个元素的一个排列．因此，比赛的总场次是 214A =14 13=182. 例 2． (课本 例 3)． (1）从 5 本不同的书中选 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法。 (2）从 5 种不同的书中买 3 本送给 3名同学，每人各 1本，共有多少种不同的送法。 解： (1）从 5 本不同的书中选出 3 本分别送给 3 名同学，对应于从 5 个不同元素中任取 3 个元素的一个排列，因此不同 送法的种数是 35A =5 4 3=60. (2）由于有 5 种不同的书，送给每个同学的 1 本书都有 5 种不同的选购方法，因此送给 3 名同学每人各 1 本书的不同方法种数是 5 5 5=125. 例 8 中两个问题的区别在于： ( 1 ）是从 5 本不同的书中选出 3 本分送 3 名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而（ 2 ）中，由于不同的人得到的书可能相同，因此不符合使用排列数公式的条件，只能用分步乘法计数原理进行计算． 例 3． (课本 例 4)．用 0 到 9这 10 个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数。 分析：在本问题的。 到 9 这 10 个数字中，因为。 不能排在百位上，而其他数可以排在任意位置上，因此。 是一个特殊的元素．一般的，我们可以从特殊元素的排列位置人手来考虑问题 解法 1 ：由于在没有重复数字的三位数中，百位上的数字 不能是 O，因此可以分两步完成排列．第 1 步，排百位上的数字，可 以从1 到 9 这九个数字中任选 1 个，有 19A 种选法；第 2 步，排十位 和个位上的数字，可以从余下的 9 个数字中任选 2 个，有 29A 种选法 （图 一 5) ．根据分步乘法计数原理，所求的三位数有 1299AA =9 9 8=648（个） . 解法 2 ：如图 一 6 所示，符合条件的三位数可分成 3 类．每一位数字都不是位数有 A 母个，个位数字是 O 的三位数有揭个，十位数字是 0 的三位数有揭个．根据分类加法计数原理，符合条件的三位数有 3 2 29 9 9A A A=648 个． 解法 3 ：从 0 到 9 这 10 个数字中任 取 3 个数字的排列数为 310A ，其中 O 在百位上的排列数是 29A ，它们的差就是用这 10 个数字组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求的三位数的个数是 310A 29A =10 9 89 8=648. 对于例 9 这类计数问题，可用适当的方法将问题分解，而且思考的角度不同，就可以有不同的解题方法．解法 1 根据百位数字不能是。 的要求，分步完成选 3 个数组成没有重复数字的三位数这件事，依据的是分步乘法计数原理；解法 2 以 O 是否出现以及出现的位置为标准，分类完成这件事情，依据的是分类加法计数原理；解法 3 是一种逆向思考方法：先求出从 10 个不同数字中选 3 个不重复数字的排列数，然后从中减去百位是。 的排列数（即不是三位数的个数），就得到没有重复数字的三位数的个数．从上述问题的解答过程可以看到，引进排列的概念，以及推导求排列数的公式，可以更加 13 简便、快捷地求解“从 n 个不同元素中取出 m (m≤ n）个元素的所有排列的个数”这类特殊的计 数问题． 节中的例 9 是否也是这类计数问题。 你能用排列的知识解决它吗。 四、课堂练习 ： 1．若 !3!nx，则 x （ ） ()A 3nA ()B 3nnA ()C 3nA ()D 33nA 2．与 3710 7AA 不等的是 （ ） ()A 910A ()B 8881A ()C 9910A ()D 1010A 3．若 532mmAA ，则 m 的值为 （ ） ()A 5 ()B 3 ()C 6 ()D 7 4．计算： 5699610239!AAA  ； 11( 1)!( )!nm mA m n   ． 5．若11( 1)!2 42mmmA ，则 m 的解集是 ． 6．（ 1）已知 10 10 9 5mA    ，那么 m ； （ 2）已知 9! 362880 ，那么 79A = ； （ 3）已知 2 56nA ，那么 n ； （ 4）已知 2247nnAA ，那么 n ． 7．一个火车站有 8 股岔道，停放 4 列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放 1列火车）。 8．一部纪录影片在 4 个单位轮映，每一单位放映 1 场，有多少种轮映次序。 答案： 1. B 2. B 3. A 4. 1,1 5.  2,3,4,5,6 6. (1) 6 (2) 181440 (3) 8 (4) 5 7. 1680 8. 24 奎屯王新敞 新疆 教学反思： 排列的特征：一个是 “ 取出元素 ” ；二是 “ 按照一定顺序排列 ” ,“ 一定顺序 ” 就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志。 根据排列的定义，两个排列相同，且仅当两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也相同 . 了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。 对于较复杂的问题，一般都有两个方向的列式途径，一个是“正。