专题15椭圆、双曲线、抛物线-20xx年高考数学理备考易错点专项复习

专题15椭圆、双曲线、抛物线-20xx年高考数学理备考易错点专项复习内容摘要：

＝ ________. 答案 (1)D (2)54 解析 (1)∵△ ABC 的两顶点 A(－ 4,0)， B(4,0)，周长为 18， ∴| AB|＝ 8， |BC|＋ |AC|＝10.∵108 ， ∴ 点 C到两个定点的距离之和等于定值，满足椭圆的定义， ∴ 点 C的轨迹是以 A，B为焦点的椭圆， ∴2 a＝ 10,2c＝ 8， ∴ b＝ 3.∴ 椭圆的标准方程是 x225＋y29＝ 1(y≠0) ．故选 D. (2)由椭圆方程知其焦点坐标为 (－ 4,0)和 (4,0)，恰分别为 △ ABC 的顶点 A和 C 的坐标，由 椭圆定义知 |BA|＋ |BC|＝ 2a＝ 10，在 △ ABC中，由正弦定理可知， sin A＋ sin Csin B ＝ |BC|＋ |BA||AC| ＝108 ＝54. 【变式探究】 (1)已知双曲线的一个焦点与抛物线 x2＝ 24y 的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为 30176。 ，则该双曲线的标准方程为 ( ) 29－y227＝ 1 B.y29－x227＝ 1 212－x224＝ 1 D.y224－x212＝ 1 (2)抛物线 y2＝ 4x 上的两点 A， B 到焦点的距离之和为 8，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为________． 答案 (1)B (2)3 (2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由抛物线的定义及题意知， x1＋ 1＋ x2＋ 1＝ 8， ∴ x1＋ x2＝ 6. ∴ 线段 AB的中点到 y轴的距离为 3. 【名师点睛】 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式． (2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定． 【锦囊妙计，战胜自我】 1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆： |PF1|＋ |PF2|＝ 2a(2a|F1F2|)； (2)双曲线： ||PF1|－ |PF2||＝ 2a(2a|F1F2|)； (3)抛物线： |PF|＝ |PM|，点 F不在直线 l上， PM⊥ l于 M. 2．求解圆锥曲线标准方程 “ 先定型，后计算 ” 所谓 “ 定型 ” ，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓 “ 计算 ” ，就是指利用待定系数法求出方程中的 a2， b2， p的值． 易错起源 圆锥曲线的几何性质 例 2 (1)椭圆 Γ ： x2a2＋y2b2＝ 1(ab0)的左，右焦点分别为 F1， F2，焦距为 y＝ 3(x＋ c)与椭圆 Γ 的一个交点 M满足 ∠ MF1F2＝ 2∠ MF2F1，则该椭圆的离心率等于 ________． (2)已知双曲线 x2a2－y2b2＝ 1 的左、右焦点分别为 F F2，过 F1作圆 x2＋ y2＝ a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点 B、 C，且 |BC|＝ |CF2|，则双曲线的渐近线方程为 ( ) A． y＝ 177。 3 x B． y＝ 177。 2 2x C． y＝ 177。 ( 3＋ 1)x D． y＝ 177。 ( 3－ 1)x 答案 (1) 3－ 1 (2)C 解析 (1)直线 y＝ 3(x＋ c)过点 F1(－ c,0)，且倾斜角为 60176。 ，所以 ∠ MF1F2＝ 60176。 ，从而 ∠ MF2F1＝ 30176。 ，所以 MF1⊥ Rt△ MF1F2中， |MF1|＝ c， |MF2|＝ 3c， 所以该椭圆的离心率 e＝ 2c2a＝ 2cc＋ 3c＝ 3－ 1. (2)由题意作出示意图， 易得直线 BC的斜率为 ab， cos∠ CF1F2＝ bc， 又由双曲线的定义及 |BC|＝ |CF2|可得 |CF1|－ |CF2|＝ |BF1|＝ 2a， |BF2|－ |BF1|＝ 2a⇒|BF2|＝ 4a， 故 cos∠ CF1F2＝ bc＝ 4a2＋ 4c2－ 16a22179。 2 a179。 2 c ⇒b2－ 2ab－。